用c语言写一个已知一条直线和一个圆求公切圆
时间: 2024-03-10 18:50:33 浏览: 13
已知一条直线和一个圆,求公切圆的问题可以分为以下两种情况:
情况一:直线与圆外离
这种情况下,两条公切线分别与圆相切,且它们的交点在圆的外部。设圆的圆心坐标为 $(x_0, y_0)$,半径为 $r$,直线方程为 $ax + by + c = 0$,则公切线方程为:
$$
\begin{cases}
x\cos\alpha + y\sin\alpha = r\cos\theta + x_0\cos\alpha + y_0\sin\alpha \\
x\cos\beta + y\sin\beta = r\cos\theta + x_0\cos\beta + y_0\sin\beta
\end{cases}
$$
其中,$\theta$ 为圆心与切点的连线与 $x$ 轴的夹角,$\alpha$ 和 $\beta$ 分别为两条公切线与 $x$ 轴的夹角。
求解公切线方程可以用以下公式:
$$
\begin{cases}
\cos(\alpha - \theta) = \dfrac{a(x_0 - r\cos\theta) + b(y_0 - r\sin\theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\
\cos(\beta - \theta) = \dfrac{a(x_0 + r\cos\theta) + b(y_0 + r\sin\theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\end{cases}
$$
情况二:直线与圆内含或相切
这种情况下,两条公切线分别与圆相切,且它们的交点在圆的内部或在圆上。设圆的圆心坐标为 $(x_0, y_0)$,半径为 $r$,直线方程为 $ax + by + c = 0$,则公切线方程为:
$$
\begin{cases}
x\cos\alpha + y\sin\alpha = r\cos\theta + x_0\cos\alpha + y_0\sin\alpha \\
x\cos\beta + y\sin\beta = r\cos\theta + x_0\cos\beta + y_0\sin\beta
\end{cases}
$$
其中,$\theta$ 为圆心与切点的连线与 $x$ 轴的夹角,$\alpha$ 和 $\beta$ 分别为两条公切线与 $x$ 轴的夹角。
求解公切线方程可以用以下公式:
$$
\begin{cases}
\cos(\alpha - \theta) = \dfrac{a(x_0 - r\cos\theta) + b(y_0 - r\sin\theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\
\cos(\beta - \theta) = \dfrac{a(x_0 + r\cos\theta) + b(y_0 + r\sin\theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\end{cases}
$$
需要注意的是,在情况二中,如果两条公切线交点在圆的内部,则 $\alpha$ 和 $\beta$ 的解应取正负两个值。
完整的 C 语言代码如下所示:
```c
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define PI 3.1415926535
int main()
{
double x1, y1, x0, y0, r, a, b, c, alpha, beta, theta;
// 输入直线和圆的参数
printf("Input line equation (ax + by + c = 0):\n");
scanf("%lf %lf %lf", &a, &b, &c);
printf("Input circle center coordinates (x0, y0):\n");
scanf("%lf %lf", &x0, &y0);
printf("Input circle radius:\n");
scanf("%lf", &r);
// 计算直线与圆心的距离
double dist = fabs(a * x0 + b * y0 + c) / sqrt(a * a + b * b);
if (dist > r) {
// 情况一:直线与圆外离
theta = atan2(-a, b);
alpha = acos((a * (x0 - r * cos(theta)) + b * (y0 - r * sin(theta))) / sqrt(a * a + b * b)) - theta;
beta = acos((a * (x0 + r * cos(theta)) + b * (y0 + r * sin(theta))) / sqrt(a * a + b * b)) - theta;
printf("Two tangent circles:\n");
printf("Center coordinates of 1st circle: (%lf, %lf)\n", x0 + r * cos(alpha), y0 + r * sin(alpha));
printf("Center coordinates of 2nd circle: (%lf, %lf)\n", x0 + r * cos(beta), y0 + r * sin(beta));
} else if (dist < r) {
// 情况二:直线与圆内含或相切
theta = atan2(-a, b);
if (fabs(dist - r) < 1e-6) {
alpha = acos((a * (x0 - r * cos(theta)) + b * (y0 - r * sin(theta))) / sqrt(a * a + b * b)) - theta;
printf("One external tangent circle:\n");
printf("Center coordinates of circle: (%lf, %lf)\n", x0 + r * cos(alpha), y0 + r * sin(alpha));
} else {
alpha = acos((a * (x0 - r * cos(theta)) + b * (y0 - r * sin(theta))) / sqrt(a * a + b * b)) - theta;
beta = acos((a * (x0 + r * cos(theta)) + b * (y0 + r * sin(theta))) / sqrt(a * a + b * b)) - theta;
printf("Two internal tangent circles:\n");
printf("Center coordinates of 1st circle: (%lf, %lf)\n", x0 + r * cos(alpha), y0 + r * sin(alpha));
printf("Center coordinates of 2nd circle: (%lf, %lf)\n", x0 + r * cos(-alpha), y0 + r * sin(-alpha));
}
} else {
// 直线与圆相切
printf("One tangent circle:\n");
printf("Center coordinates of circle: (%lf, %lf)\n", x0, y0);
}
return 0;
}
```
注意,在上面的代码中,我们使用了 `atan2` 函数来计算圆心与切点的连线与 $x$ 轴的夹角,这是因为 `atan2` 函数可以根据被除数和除数的符号自动判断象限。另外,在计算两条公切线与 $x$ 轴的夹角时,我们使用了余弦函数 `acos`,而不是正切函数 `atan`,这是因为余弦函数的值域是 $[0, \pi]$,方便我们判断两条公切线的方向。