PROMETHEE II方法双边匹配的示例

可以举一个简单的例子来说明PROMETHEE II方法中的双边匹配。假设我们有一个由三个决策者（A、B和C）和三个方案（X、Y和Z）组成的决策问题。每个决策者对每个方案都有一个评价指标，其中1表示最差，10表示最好。评价指标的矩阵如下：

| | X | Y | Z |
|------|-----|-----|-----|
| A | 8 | 6 | 7 |
| B | 7 | 9 | 6 |
| C | 8 | 7 | 9 |

接下来，对于每个决策者，我们需要确定一个权重向量，这将影响他们对每个方案的评价有多重要。假设我们选择以下权重：

| | w1 | w2 | w3 |
|------|----:|----:|----:|
| A | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
| B | 0.4 | 0.3 | 0.3 |
| C | 0.2 | 0.4 | 0.4 |

根据这些权重，我们可以计算每个决策者对每个方案的加权得分。例如，对于决策者A和方案X，得分为：

score(A, X) = 0.3 * 8 + 0.5 * 6 + 0.2 * 7 = 6.9

同样的方式，我们可以计算出所有的得分。

接下来，我们需要确定一个Δ值的阈值，以确定一个方案是否统治另一个方案。Δ值的计算方式如下：

Δi,j = Si,j - Sj,i

其中Si,j表示方案i相对于方案j的得分，Sj,i表示方案j相对于方案i的得分。例如，对于方案X和方案Y，ΔX,Y的值为：

ΔX,Y = Score(X, Y) - Score(Y, X) = (0.3*8 + 0.5*6 + 0.2*7) - (0.3*6 + 0.5*9 + 0.2*7) = -1.1

如果Δi,j大于阈值，即Δi,j > Δ，则方案i就会统治方案j。否则，如果Δj,i大于阈值，即Δj,i > Δ，则方案j将统治方案i。如果Δi,j与Δj,i都小于阈值，则方案i和方案j是相互独立的。

总之，PROMETHEE II方法使用加权得分和Δ值阈值来确定每个方案相对于其他方案的优劣。该方法也可以扩展到更复杂的决策问题中。