for i, xi in enumerate(x): r[i] = sin(np.pi * xi)*cos(xi)*exp(-xi**2) + 2 + xi**2

这是一个计算函数值的代码，其中 x 是一个数组，r 是一个与 x 同样大小的数组。这段代码使用了 numpy 库中的 sin、cos、exp 函数，计算了每个 xi 对应的函数值，并将结果存储在 r 数组中。

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%%timeit # scalar: import numpy as np from math import sin, cos, exp x = np.linspace(0, 20,100) r = np.zeros(len(x)) for i, xi in enumerate(x): r[i] = sin(np.pi * xi)*cos(xi)*exp(-xi**2) + 2 + xi**2 改写为向量化的运算，并比较运行时间的差异，要求：给出代码，运行成功，给出平均运算时间的差别。

null是一个表示空值或缺失值的特殊值，通常用于表示变量或对象没有被赋值或不存在。在计算机编程中，null通常被用作一个占位符，表示某个变量或对象的值尚未确定或未定义。在许多编程语言中，null通常被定义为一个关键字或常量，以便程序员可以使用它来表示空值或缺失值。

def kmeans(X, k, max_iterations=20): n_samples = X.shape[0] centroids = X[np.random.choice(n_samples, k, replace=False)] for i in range(max_iterations): clusters = [[] for _ in range(k)] for sample_id, sample in enumerate(X): closest_centroid = np.argmin(np.sqrt(np.sum((sample - centroids)**2, axis=1))) clusters[closest_centroid].append(sample_id) prev_centroids = centroids for j, cluster in enumerate(clusters): centroids[j] = np.mean(X[cluster], axis=0) if np.allclose(prev_centroids, centroids): break return centroids, clusters

这是一个 K-Means 聚类的 Python 实现，输入参数 X 是一个 n_samples 行 m_features 列的矩阵，表示 n_samples 个样本的 m_features 个特征；k 表示要聚类成 k 个类别；max_iterations 表示最大迭代次数，如果在迭代次数内聚类中心不再发生变化，则停止迭代。函数会返回最终的聚类中心 centroids，以及每个样本所属的类别 clusters。