给出积分分部积分解法$\int{\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{2}}}dx}$
时间: 2023-11-23 15:58:24 浏览: 47
根据积分分部积分公式,$\int{u\mathrm{d}v}=uv-\int{v\mathrm{d}u}$,我们可以将被积函数拆分为两个部分,即$u=x^2$和$\mathrm{d}v=\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x$,则$\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$,$v=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$。代入公式得到:
$$
\begin{aligned}
\int{\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{2}}}\mathrm{d}x}&=\frac{1}{2}x^2\ln(1+x^2)-\int{\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x}\\
&=\frac{1}{2}x^2\ln(1+x^2)-\int{\ln(1+x^2)\mathrm{d}(1+x^2)}+\int{\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x}\\
&=\frac{1}{2}x^2\ln(1+x^2)-\int{\ln(1+x^2)\mathrm{d}(1+x^2)}+\arctan{x}+C\\
&=\frac{1}{2}x^2\ln(1+x^2)-\left[(1+x^2)\ln(1+x^2)-2x^2\right]+\arctan{x}+C\\
&=-x^2\ln(1+x^2)+2x^2-(1+x^2)\ln(1+x^2)+\arctan{x}+C
\end{aligned}
$$
其中$C$为常数。因此,$\int{\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{2}}}\mathrm{d}x}=-x^2\ln(1+x^2)+2x^2-(1+x^2)\ln(1+x^2)+\arctan{x}+C$。
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