已知圆上三点，求圆心，用代数解法，C++实现

假设已知三点坐标分别为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$，现在要求解圆心坐标 $(a, b)$ 和半径 $r$。

根据圆的标准方程可得：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

将三个点的坐标代入上述方程可以得到三个方程：

$(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2$

$(x_2-a)^2+(y_2-b)^2=r^2$

$(x_3-a)^2+(y_3-b)^2=r^2$

将每个方程展开，可以得到：

$x_1^2-2ax_1+a^2+y_1^2-2by_1+b^2=r^2$

$x_2^2-2ax_2+a^2+y_2^2-2by_2+b^2=r^2$

$x_3^2-2ax_3+a^2+y_3^2-2by_3+b^2=r^2$

将三个方程相减可以消去 $r^2$：

$x_1^2-2ax_1+a^2+y_1^2-2by_1+b^2-(x_2^2-2ax_2+a^2+y_2^2-2by_2+b^2)=0$

$x_2^2-2ax_2+a^2+y_2^2-2by_2+b^2-(x_3^2-2ax_3+a^2+y_3^2-2by_3+b^2)=0$

将上述方程整理可得：

$-2x_1+2x_2=-2a+2a=0$

$-2x_2+2x_3=-2a+2a=0$

$-2y_1+2y_2=-2b+2b=0$

$-2y_2+2y_3=-2b+2b=0$

即：

$x_1-x_2=a$

$x_2-x_3=a$

$y_1-y_2=b$

$y_2-y_3=b$

将上述方程联立可以解出 $a$ 和 $b$：

$a=\frac{(y_1-y_2)(y_2-y_3)x_1+(x_2-x_3)(x_1-x_2)y_2+(x_3-x_1)(x_2-x_3)y_3}{2[(y_1-y_2)(x_2-x_3)-(y_2-y_3)(x_1-x_2)]}$

$b=\frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)y_1+(y_2-y_3)(y_1-y_2)x_2+(y_3-y_1)(y_2-y_3)x_3}{2[(y_1-y_2)(x_2-x_3)-(y_2-y_3)(x_1-x_2)]}$

最后，圆的半径 $r$ 可以通过任意一个已知点到圆心的距离计算得到。

下面是用 C++ 实现上述算法的代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

struct Point {
    double x, y;
};

// 计算两点之间的距离
double distance(Point a, Point b) {
    return sqrt(pow(a.x - b.x, 2) + pow(a.y - b.y, 2));
}

// 计算圆心坐标和半径
void calcCircle(Point p1, Point p2, Point p3, Point& center, double& radius) {
    double a = p1.y - p2.y;
    double b = p2.y - p3.y;
    double c = p3.y - p1.y;
    double d = p1.x - p2.x;
    double e = p2.x - p3.x;
    double f = p3.x - p1.x;
    double g = p1.x * p1.x + p1.y * p1.y;
    double h = p2.x * p2.x + p2.y * p2.y;
    double i = p3.x * p3.x + p3.y * p3.y;
    double denominator = 2 * (a * e - b * d);
    center.x = (e * g - b * h - d * i) / denominator;
    center.y = (a * h - d * g + b * i) / denominator;
    radius = distance(center, p1);
}

int main() {
    Point p1 = {0, 0};
    Point p2 = {0, 1};
    Point p3 = {1, 0};
    Point center;
    double radius;
    calcCircle(p1, p2, p3, center, radius);
    cout << "圆心坐标为：" << center.x << ", " << center.y << endl;
    cout << "圆的半径为：" << radius << endl;
    return 0;
}