求x乘以e的x方的不定积分

根据分部积分法，令 $u=x$，$dv=e^{x^2}dx$，则 $du=dx$，$v=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(x)$，其中 $\operatorname{erfi}(x)$ 表示复误差函数。

根据分部积分公式，有：

$$\int xe^{x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}x\operatorname{erfi}(x)-\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\int\operatorname{erfi}(x)dx$$

对于 $\int\operatorname{erfi}(x)dx$，我们可以通过换元法，令 $t=x^2$，则 $dt=2xdx$，原式变为：

$$\int\operatorname{erfi}(x)dx=\int\frac{e^{-t}}{\sqrt{\pi}}dt=-\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t}+C'$$

其中 $C'$ 为常数。

回代得：

$$\begin{aligned}\int xe^{x^2}dx&=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}x\operatorname{erfi}(x)-\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\int\operatorname{erfi}(x)dx\\&=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}x\operatorname{erfi}(x)+\frac{1}{2}e^{-x^2}+C\end{aligned}$$

其中 $C=C'-\frac{1}{2}$ 为常数。

因此，$x\cdot e^{x^2}$ 的不定积分为 $\frac{1}{2}\sqrt{\pi}x\operatorname{erfi}(x)+\frac{1}{2}e^{-x^2}+C$。