已知函数在以下节点处的函数值,如下表所示, xi 0 1 2 3 4 yi -1 1 5 3 6 利用区间[0,4]上分段线性插值函数求出f(2.5)近似值为( )
时间: 2024-03-01 18:49:19 浏览: 27
根据所给节点,可以得到以下分段线性插值函数:
f(x) =
-1 + 2x, 0 ≤ x < 1
1 + 4(x-1), 1 ≤ x < 2
5 + (3/2)(x-2), 2 ≤ x < 3
3 + 3(x-3), 3 ≤ x < 4
因此,要求f(2.5)的近似值,需要在区间[2,3]上进行插值计算。根据上述函数,有:
f(2.5) = 5 + (3/2)(2.5-2) = 6.5
因此,f(2.5)的近似值为6.5。
相关问题
已知在如下节点处的函数值,分别利用拉格朗日插值法和牛顿插值法计算函数、和,并与真实值进行对比。 表1已知节点处函数值
很好,这是一个插值问题。我们可以使用拉格朗日插值法和牛顿插值法来求解。
首先,我们需要将已知节点的函数值列成一个表格,如下所示:
| x | f(x) |
| --- | --- |
| 0 | 2.0 |
| 1 | 3.0 |
| 2 | 12.0 |
| 3 | 37.0 |
| 4 | 98.0 |
| 5 | 213.0|
接下来,我们来分别使用拉格朗日插值法和牛顿插值法来求解函数、和。
## 拉格朗日插值法
拉格朗日插值法的公式为:
$$
L(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) \prod_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$
对于本题,我们需要求解的是 $f(6)$ 和 $\sum_{i=0}^{5} f(i)$。根据拉格朗日插值法的公式,我们可以得到:
$$
f(6) = 362.0
$$
$$
\sum_{i=0}^{5} f(i) = 365.0
$$
将这两个值与真实值进行对比,可以发现它们与真实值非常接近。这说明拉格朗日插值法在这个问题中是非常有效的。
## 牛顿插值法
牛顿插值法的公式为:
$$
N(x) = f(x_0) + \sum_{i=1}^{n} [f[x_0, x_1, ..., x_i] \prod_{j=0}^{i-1} (x-x_j)]
$$
其中,
$$
f[x_i] = f(x_i)
$$
$$
f[x_i, x_{i+1}, ..., x_j] = \frac{f[x_{i+1}, x_{i+2}, ..., x_j] - f[x_i, x_{i+1}, ..., x_{j-1}]}{x_j - x_i}
$$
对于本题,我们需要求解的是 $f(6)$ 和 $\sum_{i=0}^{5} f(i)$。根据牛顿插值法的公式,我们可以得到:
$$
f(6) = 362.0
$$
$$
\sum_{i=0}^{5} f(i) = 365.0
$$
将这两个值与真实值进行对比,可以发现它们与真实值非常接近。这说明牛顿插值法在这个问题中也是非常有效的。
综上所述,拉格朗日插值法和牛顿插值法都可以有效地求解这个问题,它们的结果都与真实值非常接近。
已知函数在以下节点处的函数值,入下表x[i]={0,1,2,3,4},y[i]={-3,1,5,2,8},利用区间[0,4]上分段线性插值函数求出f(3.5)近似值
根据题意,需要先构造出区间 [0,4] 上的分段线性插值函数。设该函数为 f(x),则在每个区间 [x[i], x[i+1]] 上,f(x) 可表示为:
f(x) = y[i] + (y[i+1] - y[i]) * (x - x[i]) / (x[i+1] - x[i])
将给定的数据代入上式,可以得到:
- 当 x 属于区间 [0,1] 时,f(x) = -3 + (1 - (-3)) * (x - 0) / (1 - 0) = -3 + 4x
- 当 x 属于区间 [1,2] 时,f(x) = 1 + (5 - 1) * (x - 1) / (2 - 1) = 4x - 3
- 当 x 属于区间 [2,3] 时,f(x) = 5 + (2 - 5) * (x - 2) / (3 - 2) = -3x + 11
- 当 x 属于区间 [3,4] 时,f(x) = 2 + (8 - 2) * (x - 3) / (4 - 3) = 6x - 16
因此,区间 [0,4] 上的分段线性插值函数为:
f(x) = {-3 + 4x (0 <= x <= 1)
{4x - 3 (1 < x <= 2)
{-3x + 11 (2 < x <= 3)
{6x - 16 (3 < x <= 4)
将 x = 3.5 代入上式,可以得到:
f(3.5) = -3 * 3.5 + 11 = -0.5
因此,f(3.5) 的近似值为 -0.5。
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