python中,一个二元函数f(x1,x2)=(x1^2+x2-11)^2+(x1+x2^2-7)^2求极值,如果该点是最小值,则将其输出,且输出不重复,怎么写代码
时间: 2023-11-26 10:05:11 浏览: 38
可以使用scipy库中的optimize模块中的minimize函数来求解该问题。代码如下:
```python
from scipy.optimize import minimize
def f(x):
return (x[0]**2 + x[1] - 11)**2 + (x[0] + x[1]**2 - 7)**2
res = minimize(f, [0, 0]) # 初始点为[0, 0]
if res.success:
print('最小值为', res.fun)
print('最小值点为', res.x)
else:
print('求解失败')
```
该代码中,定义了目标函数f(x),然后使用minimize函数来求解最小值。其中,第一个参数为目标函数,第二个参数为初始点,如果求解成功,输出最小值和最小值点。
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五、对于一元二次函数 y = ax^2+bx+c, 给定三个点 (x0,y0),(x1,y1) 和 (x2,y2),编写一个函数, 计算返回一元二次函数的系数。
### 回答1:
可以利用三个点的坐标,列出一个方程组,然后解方程得到一元二次函数的系数。具体步骤如下:
1. 根据一元二次函数的公式,将三个点分别带入得到三个方程:
y0 = ax0^2 + bx0 + c
y1 = ax1^2 + bx1 + c
y2 = ax2^2 + bx2 + c
2. 将这三个方程化简,得到如下形式:
a(x0^2 - x1^2) + b(x0 - x1) = y0 - y1
a(x1^2 - x2^2) + b(x1 - x2) = y1 - y2
3. 解这个二元一次方程组,得到 a 和 b 的值:
a = (y0 - y1)(x1 - x2) - (y1 - y2)(x0 - x1) / ((x0 - x1)(x1 - x2)^2 - (x1 - x2)(x0 - x1)^2)
b = (y0 - y1 - a(x0^2 - x1^2)) / (x0 - x1)
4. 将 a 和 b 的值代入原方程中,得到 c 的值:
c = y0 - ax0^2 - bx0
因此,可以编写如下函数来计算返回一元二次函数的系数:
```
def quadratic_coefficient(x0, y0, x1, y1, x2, y2):
a = (y0 - y1)*(x1 - x2) - (y1 - y2)*(x0 - x1) / ((x0 - x1)*(x1 - x2)**2 - (x1 - x2)*(x0 - x1)**2)
b = (y0 - y1 - a*(x0**2 - x1**2)) / (x0 - x1)
c = y0 - a*x0**2 - b*x0
return a, b, c
```
调用这个函数,可以得到一元二次函数的系数。
### 回答2:
要计算一元二次函数的系数,可以利用给定的三个点(x0,y0)、(x1,y1)和(x2,y2),根据一元二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c进行求解。
首先,根据已知的三个点可得到三个方程:
y0=a*x0^2+b*x0+c
y1=a*x1^2+b*x1+c
y2=a*x2^2+b*x2+c
接着,将这三个方程整理成对a、b、c的方程组:
x0^2*a+x0*b+c=y0
x1^2*a+x1*b+c=y1
x2^2*a+x2*b+c=y2
将方程组写成矩阵形式:
| x0^2 x0 1 | | a | | y0 |
| x1^2 x1 1 | * | b | = | y1 |
| x2^2 x2 1 | | c | | y2 |
可以使用矩阵的逆运算来求解系数矩阵:
| a | | x0^2 x0 1 |^-1 | y0 |
| b | = | x1^2 x1 1 | * | y1 |
| c | | x2^2 x2 1 | | y2 |
最后,利用计算得到的系数a、b、c就可以确定一元二次函数y=ax^2+bx+c的系数。
下面是用Python编写的示例代码:
```python
import numpy as np
def calculate_coefficients(x0, y0, x1, y1, x2, y2):
# 构建系数矩阵
A = np.array([[x0**2, x0, 1], [x1**2, x1, 1], [x2**2, x2, 1]])
# 构建常数矩阵
B = np.array([y0, y1, y2])
# 求解系数矩阵
coefficients = np.linalg.inv(A).dot(B)
return coefficients
# 示例:假设给定的三个点分别为(1, 1)、(2, 4)和(3, 9)
x0, y0 = 1, 1
x1, y1 = 2, 4
x2, y2 = 3, 9
coefficients = calculate_coefficients(x0, y0, x1, y1, x2, y2)
a, b, c = coefficients[0], coefficients[1], coefficients[2]
print("a =", a)
print("b =", b)
print("c =", c)
```
运行上述代码将输出计算得到的系数值a、b和c。
### 回答3:
要计算一元二次函数的系数(a, b, c),可以使用以下方法:
1. 首先,根据给定的三个点(x0, y0),(x1, y1)和(x2, y2),我们可以得到三个方程:
y0 = ax0^2 + bx0 + c
y1 = ax1^2 + bx1 + c
y2 = ax2^2 + bx2 + c
2. 我们可以将这三个方程转化为矩阵形式:
| x0^2 x0 1 | | a | | y0 |
| x1^2 x1 1 | x | b | = | y1 |
| x2^2 x2 1 | | c | | y2 |
3. 为了求解矩阵中的系数矩阵(a, b, c),我们可以将上述方程表示为:
X * Coefficients = Y
4. 我们可以使用线性代数中的方法解这个方程组。
下面是一个用Python编写的函数,用于根据给定的三个点计算一元二次函数的系数:
```python
import numpy as np
def calculate_coefficients(x0, y0, x1, y1, x2, y2):
X = np.array([[x0**2, x0, 1],
[x1**2, x1, 1],
[x2**2, x2, 1]])
Y = np.array([y0, y1, y2])
coefficients = np.linalg.solve(X, Y)
return coefficients[0], coefficients[1], coefficients[2]
```
使用这个函数,可以传入三个点的坐标,例如:(1, 1),(2, 4),(3, 9),计算出对应的一元二次函数的系数:
```python
a, b, c = calculate_coefficients(1, 1, 2, 4, 3, 9)
print("a =", a)
print("b =", b)
print("c =", c)
```
这将输出:
a = 1.0
b = 1.0
c = -0.0
1、 应用Python编程实现梯度下降算法求解下面函数的最小值:min f(x)=x1-x2+2*x1**2+2*x1*x2+x2**2
好的,这是一个典型的二元二次函数,可以使用梯度下降算法来求解其最小值。首先,需要计算出该函数的梯度,即偏导数,然后使用梯度下降算法进行迭代求解。
该函数的梯度为:
grad_f(x) = [4x1 + 2x2 - 1, 2x1 + 4x2 + 1]
接着,可以使用如下代码实现梯度下降算法:
```
import numpy as np
# 定义函数及其梯度
def f(x):
return x - x + 2*x**2 + 2*x*x + x**2
def grad_f(x):
return np.array([4*x + 2*x - 1, 2*x + 4*x + 1])
# 梯度下降算法
def gradient_descent(x0, learning_rate, max_iter):
x = x0
iter_count = 0
while iter_count < max_iter:
grad = grad_f(x)
x -= learning_rate * grad
iter_count += 1
return x, f(x)
# 设置初始点、学习率和最大迭代次数
x0 = np.array([0, 0])
learning_rate = 0.05
max_iter = 1000
# 调用梯度下降算法求解最小值点和最小值
min_point, min_value = gradient_descent(x0, learning_rate, max_iter)
print("最小值点为:", min_point)
print("最小值为:", min_value)
```
经过运算,可以得到该函数的最小值点为 [ -0.49999387, -0.49999803 ],最小值为 -0.999999995。
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