用数学归纳法证明:有限个无穷小之和也是无穷小
时间: 2023-03-31 19:02:44 浏览: 235
可以回答这个问题。假设有限个无穷小为a1, a2, ..., an,那么对于任意的ε>,存在正整数N1,使得当k>N1时,|ak|<ε/2。同理,对于每个ai,存在正整数Ni,使得当k>Ni时,|ai|<ε/2n。取N=max{N1, N2, ..., Nn},则当k>N时,有:
|a1+a2+...+an| ≤ |a1|+|a2|+...+|an| < ε/2+ε/2+...+ε/2 (共n个) = nε/2 < ε
因此,a1+a2+...+an也是无穷小。
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证明两个无穷小的和也是无穷小
两个无穷小的和也是无穷小,这个可以通过极限的定义来证明。设 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=$,$\lim\limits_{x\to a}g(x)=$,则对于任意 $\epsilon>$,存在 $\delta_1>$,当 $<|x-a|<\delta_1$ 时,$|f(x)|<\frac{\epsilon}{2}$;存在 $\delta_2>$,当 $<|x-a|<\delta_2$ 时,$|g(x)|<\frac{\epsilon}{2}$。取 $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$,则当 $<|x-a|<\delta$ 时,$|f(x)+g(x)|\leq|f(x)|+|g(x)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$,即 $\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))=$,所以两个无穷小的和也是无穷小。
当x趋近于1时,lnx是无穷小么?如何证明?
当x趋近于1时,lnx不是无穷小。证明如下:
首先,当x趋近于1时,lnx的极限存在,即:
lim(x->1) lnx = ln1 = 0
其次,当x趋近于1时,x-1也趋近于0,因此可以将lnx表示为ln(1 + x - 1),并利用泰勒公式展开ln(1 + x - 1),得到:
lnx = ln(1 + x - 1) = (x - 1) - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - ...
因此,当x趋近于1时,lnx的值也趋近于0,而不是无穷小。