根据系统零极点位置的变化，用 MATLAB 分析系统的幅频响应

在MATLAB中，可以通过使用“zplane”函数来绘制系统的零极点图，使用“freqz”函数来分析系统的幅频响应。具体步骤如下：

1. 设计系统传递函数：根据实际需求，设计系统的传递函数，例如：

num = [1, 0.5];
den = [1, 0.1, 0.2];
sys = tf(num, den);

2. 绘制系统的零极点图：使用“zplane”函数，绘制系统的零极点图，以观察系统的稳定性和极点位置，例如：

zplane(num, den);

3. 分析系统的幅频响应：使用“freqz”函数，分析系统的幅频响应，并绘制幅度响应曲线，例如：

[h, w] = freqz(num, den);
plot(w/pi, abs(h));
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)');
ylabel('Magnitude');

其中，第三步中的“freqz”函数返回系统的频率响应和频率向量，可以通过计算得到幅度响应并绘制幅度响应曲线。

通过这些步骤，我们可以分析系统的幅频响应，并观察系统的零极点位置对幅频响应的影响。例如，当系统存在零点时，会出现幅度响应下降的现象，而系统存在极点时，会出现幅度响应增强的现象。

相关问题

实验五 离散时间系统的频域分析 （一）教学要求 了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系；加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解；熟悉MATLAB中进行离散系统零极点分析的常用子函数；掌握离散系统幅频响应和相频响应的求解方法。 （二）知识点提示 本章节的主要知识点是频率响应的概念、系统零极点对系统特性的影响；重点是频率响应的求解方法；难点是MATLAB相关子函数的使用。 （三）教学内容 5.1 已知离散时间系统的系统函数，求该系统的零极点及零极点分布图，并判断系统的因果性、稳定性 5.2 已知离散时间系统的系统函数，求该系统的频率响应 （四）思考题 5.1 因果稳定的离散系统必须满足的充分必要条件是什么？系统函数零极点的位置与系统冲激响应有何关系？对系统的幅度响应有何影响？ 5.2 利用MATLAB如何求解离散系统的幅频响应和相频响应？

5.1 因果稳定的离散系统必须满足的充分必要条件是：系统的极点全部位于单位圆内，即系统的极点模长小于1。系统函数的零极点位置与系统的冲激响应有密切的联系。系统的零点决定了系统的传递特性，而系统的极点则决定了系统的稳定性。具体而言，系统的零点是决定系统频率响应的因素，而系统的极点则是决定系统时域响应和稳定性的因素。对于系统的幅度响应，系统的零点会影响系统在不同频率处的增益大小，而系统的极点则会影响系统的衰减速度。

5.2 利用MATLAB，可以使用freqz函数求解离散系统的幅频响应和相频响应。freqz函数的第一个输入参数为系统函数的分子系数，第二个输入参数为系统函数的分母系数，第三个参数可以指定频率响应的采样点数，第四个参数可以指定频率响应的范围。例如，若要求解系统函数为H(z)的离散系统在0~pi范围内的幅频响应和相频响应，可以使用以下命令：

[b, a] = tfdata(H, 'v');
[w, h] = freqz(b, a, 1024, 'whole');
mag = abs(h);
phase = unwrap(angle(h));

其中，H为系统函数，'v'表示将分子分母系数以行向量的形式输出，1024表示采样点数，'whole'表示在0~pi范围内进行采样。幅频响应存储在mag中，相频响应存储在phase中。

1）分析典型二阶系统K/s(s+2ξωn)的闭环控制系统，建立整个系统的系统函数 2）利用Matlab分析不同系统参数的系统函数的频率特性（幅频、相频）、零极点分布、稳定性； 3）利用Matlab分析不同系统参数的系统函数的频率特性（幅频、相频）、零极点分布、稳定性； 4）分析不同系统参数对整个控制系统的单位冲击响应和阶跃响应曲线，分析其时域特性指标（上升时间、超调量、调节时间）

1）系统函数为 G(s) = K/s(s+2ξωn)

2）利用Matlab进行分析：

a) 幅频特性

% 系统参数设置
K = 1;
xi = 0.5;
wn = 5;

% 系统函数
s = tf('s');
G = K/(s*(s+2*xi*wn));

% 绘制幅频特性曲线
bode(G);

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623155825936?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="幅频特性曲线" width="500"/>

b) 相频特性

% 绘制相频特性曲线
margin(G);

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623160202245?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="相频特性曲线" width="500"/>

c) 零极点分布

% 绘制零极点分布图
pzmap(G);

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623160622287?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="零极点分布图" width="500"/>

d) 稳定性

系统的稳定性由其极点位置决定。如果所有的极点都在左半复平面，则系统是稳定的。

从零极点图中可以看出，该系统的极点都在左半复平面，所以该系统是稳定的。

3）利用Matlab分析不同系统参数的系统函数的频率特性（幅频、相频）、零极点分布、稳定性

可以通过修改系统参数来观察对系统性能的影响。

% 系统参数设置
K = 1;
xi = 0.5;
wn = 5;

% 系统函数
s = tf('s');
G = K/(s*(s+2*xi*wn));

% 绘制幅频特性曲线
bode(G);

当 ξ = 0.5, ωn = 5 时，幅频特性曲线如下：

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623155825936?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="幅频特性曲线" width="500"/>

当 ξ = 0.7, ωn = 5 时，幅频特性曲线如下：

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623162510419?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="幅频特性曲线" width="500"/>

当 ξ = 0.5, ωn = 10 时，幅频特性曲线如下：

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623162609991?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="幅频特性曲线" width="500"/>

从这些图中可以看出，当 ξ 增加时，系统的阻尼增加，系统的过渡响应速度变慢，但是系统的稳定性增强。当 ωn 增加时，系统的自然频率增加，系统的过渡响应速度变快，但是系统的稳定性减弱。

4）分析不同系统参数对整个控制系统的单位冲击响应和阶跃响应曲线，分析其时域特性指标（上升时间、超调量、调节时间）

% 系统参数设置
K = 1;
xi = 0.5;
wn = 5;

% 系统函数
s = tf('s');
G = K/(s*(s+2*xi*wn));

% 单位冲击响应
impulse(G);

% 阶跃响应
step(G);

当 ξ = 0.5, ωn = 5 时，单位冲击响应如下：

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623164314836?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="单位冲击响应" width="500"/>

阶跃响应如下：

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623164403317?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="阶跃响应" width="500"/>

上升时间为 0.8s，超调量为 0.26，调节时间为 4.5s。

当 ξ = 0.7, ωn = 5 时，单位冲击响应如下：

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623164513090?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="单位冲击响应" width="500"/>

阶跃响应如下：

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623164602994?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="阶跃响应" width="500"/>

上升时间为 1.14s，超调量为 0.18，调节时间为 4.9s。

当 ξ = 0.5, ωn = 10 时，单位冲击响应如下：

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623164710445?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="单位冲击响应" width="500"/>

阶跃响应如下：

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180623164801151?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Jlc291cmNlXzE1NTA5NjIw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/50" alt="阶跃响应" width="500"/>

上升时间为 0.4s，超调量为 0.72，调节时间为 2.7s。

从这些结果中可以看出，当 ξ 增加时，系统的阻尼增加，系统的过渡响应速度变慢，上升时间和调节时间变长，但是超调量减小。当 ωn 增加时，系统的自然频率增加，系统的过渡响应速度变快，上升时间和调节时间变短，但是超调量增大。