对于一个有n个元素的列表，快速排序的最大和最小比较次数是多少，分别给出最大和最小比较次数的实例

快速排序的最大比较次数是$O(n^2)$，最小比较次数是$O(nlogn)$。

最大比较次数的情况发生在每次取的 pivot 都是当前子序列中的最小值或最大值时，此时递归深度为n，每层需要比较n次，总比较次数为$n^2$。

最小比较次数的情况发生在每次取的 pivot 都是当前子序列的中位数时，此时递归深度为$O(logn)$，每层需要比较n次，总比较次数为$nlogn$。

以列表[5, 2, 9, 1, 5, 6, 3]为例，最大比较次数的情况下，每次取的 pivot 都是当前子序列中的最小值或最大值：

第一次递归比较次数为6，pivot为1

第二次递归比较次数为5，pivot为2

第三次递归比较次数为4，pivot为3

第四次递归比较次数为3，pivot为5

第五次递归比较次数为2，pivot为5

第六次递归比较次数为1，pivot为6

共需要比较21次。

最小比较次数的情况下，每次取的 pivot 都是当前子序列的中位数：

第一次递归比较次数为7，pivot为5

第二次递归比较次数为3，pivot为2

第三次递归比较次数为2，pivot为3

第四次递归比较次数为2，pivot为5

第五次递归比较次数为2，pivot为6

第六次递归比较次数为1，pivot为9

共需要比较17次。

相关问题

1. 实现合并排序。 2. 实现插入排序。 3. 实施快速排序并回答以下问题。（1） 快速排序将对具有相同值的 n 个元素的列表进行多少次比较？（2）快速排序将在n个元素的列表上进行的最大和最小比较次数是多少，分别给出最大和最小情况的实例。

好的，我知道了。下面是答案：

1. 合并排序的基本思想是将一个大的数组分成两个子数组，然后对这两个子数组分别进行排序，最后将它们合并成一个有序的数组。具体实现可以采用递归的方式，也可以使用迭代的方式。

2. 插入排序的基本思想是将一个数组分为两个部分，已排序的部分和未排序的部分。然后将未排序的部分中的每个元素插入到已排序的部分中的正确位置，直到整个数组有序为止。

3. 快速排序的基本思想是选取一个元素作为基准值，将比它小的元素放到它的左边，比它大的元素放到它的右边，然后对左右两个子序列分别进行快速排序。具体实现可以采用递归方式，也可以使用非递归方式。

(1) 快速排序对具有相同值的 n 个元素的列表进行的比较次数与选取的基准值有关。最坏情况下，如果每次都选取的都是列表中最小或最大的元素作为基准值，则比较次数为 n*(n-1)/2。最好情况下，如果每次都选取的都是列表中的中间值作为基准值，则比较次数为 n*log2(n)。

(2) 快速排序在 n 个元素的列表上进行的最大和最小比较次数分别为 n-1 和 n*log2(n)。最大情况下，当列表已经有序时，每次选取的基准值都是列表的最小或最大值，比较次数为 n-1。最小情况下，当列表中的元素都是随机的时，每次都能将列表分成相等的两部分，比较次数为 n*log2(n)。

用C＋＋找出数组中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数

在C++中，找出数组中既不是最大值也不是最小值的元素可以使用分治法或者排序+遍历的方式。这里我们选择后者，因为它通常需要更少的比较次数。

首先，对数组进行一次排序，这一步是最坏情况下的比较次数，因为最坏情况下，如果数组已经完全逆序，我们需要n(n-1)/2次比较才能完成排序，其中n是数组长度。使用快速排序、归并排序等平均时间复杂度为O(n log n)的算法。

然后从排序后的中间位置开始遍历，取中间元素（对于偶数长度的数组取中间两个元素的平均值）。这个中间元素通常既不会是最大值也不会是最小值。

以下是简化版的伪代码：

// 假设数组arr已排序
int findMedian(int arr[], int n)
{
    if (n % 2 == 0)
        return (arr[n / 2 - 1] + arr[n / 2]) / 2; // 对于偶数长度，选择中间两个数的平均值
    else
        return arr[n / 2]; // 对于奇数长度，中间的就是既不是最大也不是最小的
}

int main()
{
    // ... 实现排序，如快速排序 ...
    // 调用findMedian(arr, n);
    // ... 回溯到未排序状态 ...
}