求集合A上的所有等价关系 问题描述 给定一个n(n<=7)元素的集合A,求出A上所有不同的等价关系并显示出来。 输入格式 首先输入元素个数n(n<=7),回车之后输入集合A,用大括号封闭。 输出格式 输出A上所有的等价关系。使用c++代码形式呈现
时间: 2024-02-18 16:05:55 浏览: 75
好的,以下是一份用 C++ 实现的代码,可以求出集合 A 上所有不同的等价关系:
```c++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>
using namespace std;
void dfs(int cur, int n, vector<int>& v, vector<vector<int>>& res) {
if (cur == n) {
res.push_back(v);
return;
}
dfs(cur + 1, n, v, res);
v.push_back(cur);
dfs(cur + 1, n, v, res);
v.pop_back();
}
bool check(vector<vector<int>>& blocks, int n) {
for (auto& b : blocks) {
if (b.size() == 0) continue;
if (b.size() == 1) {
if (b[0] != n - 1) return false;
else continue;
}
set<int> s;
for (auto& x : b) {
s.insert(x);
}
if (s.size() != b.size()) return false;
for (auto& x : b) {
for (auto& y : b) {
if (x == y) continue;
if (x < y) {
if (s.find(x * n + y) == s.end()) return false;
} else {
if (s.find(y * n + x) == s.end()) return false;
}
}
}
}
return true;
}
vector<vector<int>> getEquivalenceRelations(int n) {
vector<vector<int>> res;
vector<int> v;
dfs(0, n, v, res);
vector<vector<int>> blocks;
for (auto& r : res) {
bool ok = true;
for (auto& b : blocks) {
bool flag = true;
for (auto& x : b) {
for (auto& y : r) {
if (x < y && (x * n + y) % 2 == 0) {
flag = false;
break;
}
if (x > y && (y * n + x) % 2 == 0) {
flag = false;
break;
}
}
if (!flag) break;
}
if (flag) {
b.insert(b.end(), r.begin(), r.end());
ok = false;
break;
}
}
if (ok) {
blocks.push_back(r);
}
}
vector<vector<int>> ans;
for (int i = 0; i < (1 << (n * (n - 1) / 2)); i++) {
vector<vector<int>> blocks_copy = blocks;
bool flag = true;
for (int j = 0; j < n; j++) {
for (int k = j + 1; k < n; k++) {
if (i & (1 << (j * (n - 1) + k - (j + 1) * j / 2))) {
bool found = false;
for (auto& b : blocks_copy) {
set<int> s;
for (auto& x : b) {
s.insert(x);
}
if (s.find(j) != s.end() && s.find(k) != s.end()) {
found = true;
break;
}
}
if (!found) {
flag = false;
break;
}
}
}
if (!flag) break;
}
if (flag && check(blocks_copy, n)) {
ans.push_back(vector<int>());
for (int j = 0; j < n * (n - 1) / 2; j++) {
if (i & (1 << j)) {
ans.back().push_back(j);
}
}
}
}
return ans;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
vector<vector<int>> res = getEquivalenceRelations(n);
cout << "共有 " << res.size() << " 个不同的等价关系:" << endl;
for (auto& r : res) {
cout << "{";
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << "{";
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
if (find(r.begin(), r.end(), i * n + j) != r.end()) {
cout << i << "," << j << ";";
}
}
cout << "}";
}
cout << "}" << endl;
}
return 0;
}
```
这个代码的思路是先通过 dfs 枚举出所有可能的元素对,然后对于每个元素对的情况,判断它们是否满足等价关系的定义。最终,输出所有满足等价关系定义的集合。
需要注意的是,对于一个等价关系 R,它可以用一个 n × n 的矩阵表示,其中第 i 行第 j 列的元素为 1 表示 i 和 j 在 R 中等价,为 0 则表示不等价。而一个 n × n 的矩阵需要用 n × (n-1)/2 个元素来表示,因为矩阵中的对角线上的元素都是 1,所以只需要考虑上三角或下三角的元素即可,共有 n × (n-1)/2 个元素。
另外,这个代码的时间复杂度比较高,需要枚举所有可能的等价关系,所以 n 比较大时运行时间会很长。
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