n边形内最大三角形面积

假设n边形的边长为1，那么将n边形分割成n个小三角形的方法有很多种。我们可以选取其中一个小三角形作为最大三角形的一个顶点，然后找到另外两个顶点，使得这个三角形的面积最大。

具体地，我们可以枚举所有的小三角形，计算以它为顶点时的最大三角形面积。具体方法如下：

对于每个小三角形，以它的顶点为原点建立直角坐标系。则这个小三角形的另外两个顶点可以表示为(x1, y1)和(x2, y2)，它们满足以下条件：

1. x1和x2都在小三角形的内部或在边界上。
2. y1和y2都非负，且y1+y2<=1。

根据向量叉积公式，三角形的面积为：

S = |(x1*y2 - x2*y1)/2|

因此，我们可以枚举所有符合条件的(x1, y1, x2, y2)的四元组，计算对应的面积，然后取其中的最大值即可。

时间复杂度为O(n^4)。如果使用C++ STL中的vector，可以事先记录所有符合条件的(x1, y1, x2, y2)的四元组，然后按顺序遍历它们，计算对应的面积，以减少枚举次数，进一步优化时间复杂度。

相关问题

有 n 个点，它们将圆的周长 n 等分。 请问：在这 n 个点组成的所有三角形中，面积最大三角形的有多少个？

面积最大的三角形只可能由相邻的三个点组成，因为如果取的不相邻的点，就可以通过将其中一个顶点向相邻点移动一点点，使面积更大。因此，设这 n 个点按顺序编号为 1,2,...,n，那么面积最大的三角形只可能是 (1,2,3),(2,3,4),...,(n-2,n-1,n),(n-1,n,1),(n,1,2) 这些三角形之一。 由于这些三角形的面积都相等，因此只需统计它们中每一个对应的角度 $\angle i$ 的正弦值 $\sin(\angle i)$，如果存在某个角度对应的正弦值是最大的，那么就有多个面积最大的三角形，否则只有一个。具体来说，设 $a=2\pi/n$，则角度 $\angle i$ 的正弦为 $\sin(\angle i)=\sin\left(\frac{i-1}{2}a\right)\sin\left(\frac{n-i+1}{2}a\right)$，因此我们可以预处理出所有正弦值，然后求出最大的正弦值是多少以及它出现了多少次。时间复杂度 $O(n)$。

在一个单位圆上有 n 个点，它们将圆的周长 n 等分。 请问：在这 n 个点组成的所有三角形中，面积最大的有多少个？

假设这 n 个点按顺序从 1 到 n 编号，并且第一个点与最后一个点相连形成了一个 n 边形，那么这个问题可以转化为求在这个 n 边形内选择三个点组成三角形，使得这个三角形的面积最大，有多少种方案。

首先可以通过枚举其中一个点，然后分别选择相邻的两个点组成三角形，计算它们的面积，并记录下最大的面积。这个过程的时间复杂度为 O(n)。

接下来需要考虑如何快速统计有多少个最大面积的三角形。首先需要注意的是，当面积最大时，三角形的三个顶点一定是 n 个点中的某些相邻的 3 个点。因此可以从第 1 个点开始，枚举前两个点，然后从第三个点开始，顺时针地遍历整个 n 边形，寻找以这 3 个点为顶点的三角形，直到遍历到第一个点为止。这个过程可以通过两个指针 i 和 j 来实现，其中 i 和 j 分别表示三个顶点在 n 个点中的下标，初始时 i 和 j 分别指向第 1 个点与第 2 个点，接下来每次将 j 向右移动一格，直到找到一个顶点使得以 i 和 j 为顶点的三角形不再是最大面积三角形，此时将 i 向右移动一格，并重复上述过程。具体实现中，需要注意处理下标的循环问题。这个过程的时间复杂度为 O(n)。

因此，总的时间复杂度为 O(n)。