设(A,≤)是分配格,若对任意的a,b, c∈ A,如果有a ∧ b = a ∧ c, a ∨ b = a ∨ c成 立,则a和b之间的关系是什么?
时间: 2024-03-28 07:40:27 浏览: 13
根据分配格的定义,对于任意的 $a,b,c \in A$,如果 $a \wedge b = a \wedge c$,则 $a \wedge b \leq a$ 且 $a \wedge b \leq c$,即 $a \wedge b$ 是 $a$ 和 $c$ 的下界。同理,如果 $a \vee b = a \vee c$,则 $a \vee b$ 是 $a$ 和 $c$ 的上界。
因为分配格中任意两个元素都有下界和上界,所以对于任意的 $a,b \in A$,它们之间一定存在最大下界和最小上界。设它们的最大下界为 $a \wedge b'$,最小上界为 $a \vee b'$,则有:
$$
\begin{aligned}
a \wedge b' &= a \wedge (a \wedge b) \\
&= (a \wedge a) \wedge b \\
&= a \wedge b \\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
a \vee b' &= a \vee (a \vee b) \\
&= (a \vee a) \vee b \\
&= a \vee b \\
\end{aligned}
$$
因此,根据分配格的定义,$a$ 和 $b$ 之间存在最大下界 $a \wedge b'$ 和最小上界 $a \vee b'$,即 $a$ 和 $b$ 是偏序关系。
相关问题
设A,B为任意集合,如果A∪B=A,那么B= 空集
这个说法是不正确的。如果 A∪B=A,那么 B 包含在 A 中,也就是说 A 中的所有元素都属于 B 或 A∩B。但是 B 可以包含 A 中的一部分元素,因此 B 不一定是空集。
举个例子,设 A={1,2,3},B={2,4},则 A∪B={1,2,3,4}=A,因此 A∪B=A。但是 B 不是空集,它包含了 A 中的一个元素 2。
因此,这个说法是不正确的。
对任意集合A,B, 证明:若A≠∅,BxA=CxA, 则B=C。
证明:
对于任意元素x∈B,y∈A,由于A非空,则存在y∈A,因此(x, y)∈B×A=C×A。因此,存在z∈C,使得(x, y)=(z, y)。这意味着x=z。
由于x的选择是任意的,因此对于任意元素x∈B,都有x∈C。因此,B⊆C。
同理,对于任意元素x∈C,y∈A,存在y∈A,因此(x, y)∈C×A=B×A。因此,存在z∈B,使得(x, y)=(z, y)。这意味着x=z。
因此,C⊆B。
综上所述,B=C。证毕。