设G是无零因子环,证明:对任意a,b,c属于G,若a不等于0,ab=ac,则b=c
时间: 2024-04-01 15:36:54 浏览: 13
首先,由于 G 是无零因子环,因此 a 不是零因子。因此,我们可以将 a 乘以其在 G 中的逆元,得到 a^-1 ab = a^-1 ac。
由于 G 是环,因此存在加法和乘法的分配律,即对于任意 x,y,z 属于 G,有:
- x(y+z) = xy + xz
- (x+y)z = xz + yz
因此,我们可以将上式展开为:
- a^-1 ab = a^-1 ac
- (a^-1 a)b = (a^-1 a)c
- 1b = 1c
- b = c
因此,我们证明了对于任意 a,b,c 属于 G,若 a 不等于 0,且 ab = ac,则必有 b = c。
相关问题
<G,*>是n阶循环群,a是生成元,证明:对于任意n的因子d,唯一存在G的d阶子群
首先,对于任意n的因子d,我们可以构造一个d阶子群H,使得H={a^i | i=0,1,...,(n/d)-1}。显然,H中的元素互不相同且H是G的子集,因此只需要证明H是一个子群即可。
首先,H中的单位元为a^0=1。其次,对于H中的任意两个元素a^i和a^j,它们的乘积为a^(i+j),由于G是循环群,因此i+j对n取模后得到的结果也在H中,即a^(i+j)∈H。再次,对于H中任意一个元素a^i,它的逆元为a^(n-i),因为a^(i+(n-i))=a^n=1,因此a^(n-i)是a^i的逆元且也在H中。
因此,H满足群的四个条件,即H是G的子群,同时由于d是n的因子,因此H的阶数即为d。因此,对于任意n的因子d,唯一存在G的d阶子群H,而且H就是我们构造的那个子群。
证明:矩阵A是m行n列的矩阵 B是n行s列的矩阵 AB=0 A的秩加B的秩≤n
我们需要使用矩阵秩的性质来证明这个命题。
设A的秩为r1,B的秩为r2。
根据矩阵乘法的定义,AB的每一行都是A的一行与B的一列的乘积之和。因此,如果AB的某一行全为0,则说明A的该行与B的所有列的乘积之和均为0。这意味着A的该行与B的列向量组成的线性组合为0向量,即存在不全为0的常数c1,c2,...,cn使得
c1*A的该行 + c2*B的第1列 + ... + cn*B的第n列 = 0向量
这个方程可以写成
[c1 c2 ... cn] * [A的该行 B的第1列 ... B的第n列] = 0向量
由于A的该行与B的列向量组成的矩阵有n列,而矩阵秩的定义是线性无关的列向量的最大个数,因此该矩阵的秩不超过n。又因为矩阵乘积的秩不超过其因子的秩之积,即rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)),因此我们得到了一个重要的结论:
如果AB的某一行全为0,则A的秩加B的秩不超过n。
现在我们考虑反证法。假设AB=0,且A的秩加B的秩大于n。由于A的秩不超过m,B的秩不超过s,因此我们有
r1 + r2 > n ≥ m, s
根据矩阵秩的定义,A和B中必然存在r1 + r2 - n个线性无关的列向量,不妨设这些向量是A的第i1,i2,...,i(r1+r2-n)列和B的第j1,j2,...,j(r1+r2-n)列。我们可以将这些列向量组成一个(n-r1-r2)×(r1+r2)的矩阵C,记作
C = [A的第i1,i2,...,i(r1+r2-n)列 B的第j1,j2,...,j(r1+r2-n)列]
由于C的列向量线性无关,因此C的秩为r1+r2-n。又由于C的列向量都来自于A和B,因此C的秩不超过min(r1,r2)。这意味着r1+r2-n ≤ min(r1,r2),即r1 + r2 ≤ n,与我们的假设矛盾。因此原命题得证。