设<G,>为群,a, b, c∈G。若a*b=c*b*a, a*c=c*a, b*c=c*b,a, b的阶分别为m, n,则c的阶整除m 与n的最大公因子(m, n)。
时间: 2023-12-15 15:07:32 浏览: 46
首先,设m和n的最大公因子为d,则有m=dx,n=dy,其中x和y互素。因此,我们可以写出:
(a^d)^x = a^m = e
(b^d)^y = b^n = e
其中,e是群G的单位元。由于a和b的阶分别为m和n,所以d是它们的公因子,因此(a^d)^x和(b^d)^y都等于e。
现在我们来考虑c的阶。根据题目所给条件,我们有a*b=c*b*a,即a^-1*c*b=b*a^-1,从而(c*a^-1)*(c*b)^-1=a^-1*b,因此(c*a^-1)*(c*b)^-1的阶与a^-1*b的阶相同。
而根据题目条件,a*c=c*a和b*c=c*b,我们可以得到:
(c*a^-1)^d = (a^-1*c)^d = (c*a^-1)^d
(c*b)^d = (b*c)^d = (c*b)^d
因此,(c*a^-1)^d和(c*b)^d都等于群G的单位元e。又因为x和y互素,所以我们可以将(c*a^-1)^d和(c*b)^d写成:
(c*a^-1)^d = ((c*a^-1)^x)^d = e
(c*b)^d = ((c*b)^y)^d = e
因此,c的阶整除d,而d又整除m和n的最大公因子(m, n)。因此,c的阶整除(m, n)的最大公因子。
相关问题
五、<G,*>是个群,u∈G,定义G中的运算“”为:a, b∈G,ab=a*u-1*b,,证明:<G,>是个含幺半群。
要证明<G, *>是一个含幺半群,我们需要证明它满足以下条件:
1. 封闭性:对于任意的a, b∈G,ab=a*u-1*b也属于G。
2. 结合律:对于任意的a, b, c∈G,(ab)c=(a*u-1*b)c=a*u-1*b*u-1*c=a*u-1*(b*u-1*c)=a*(b*u-1*c)也属于G。
3. 存在单位元:存在一个元素e∈G,使得对于任意的a∈G,ae=a*u-1*e=a*u-1=a和ea=(e*u-1)a=e*u-1*a=a也属于G。
4. 存在逆元:对于任意的a∈G,存在一个元素a-1∈G,使得aa-1=a*u-1*a-1=a*u-1*a-1*u=aa*u-1=a*u-1=ea=e和a-1a=a-1*u-1*a=a*u-1*a*u=a*aa*u-1=a*ea=a也属于G。
因此,由以上证明可知,<G, *>是一个含幺半群。
3.H是<G,*>的子群,R={<a,b>|a-1*b∈H},证明 R是G上的等价关系。
为了证明R是G上的等价关系,我们需要证明以下三个条件:
1. 自反性(Reflexivity):对于任意的a∈G,都有<a,a>∈R。
2. 对称性(Symmetry):对于任意的<a,b>∈R,都有<b,a>∈R。
3. 传递性(Transitivity):对于任意的<a,b>,<b,c>∈R,都有<a,c>∈R。
首先证明自反性。由于H是<G,*>的子群,那么根据子群的定义,e∈H,其中e是<G,*>的恒等元素。因此,a-1*a=e∈H,即<a,a>∈R。因此,自反性得以满足。
接下来证明对称性。设<a,b>∈R,即a-1*b∈H。则b-1*a=(a-1*b)-1∈H,因为H是G的子群,所以它对于乘法是封闭的。因此,<b,a>∈R。证明了对称性。
最后证明传递性。设<a,b>∈R,<b,c>∈R,即a-1*b,b-1*c∈H。则(a-1*c)=(a-1*b)*(b-1*c)∈H,因为H是G的子群,它对于乘法是封闭的。因此,<a,c>∈R,证明了传递性。
综上所述,我们证明了R是G上的等价关系。