数据预处理——多项式转换 C++实现及案例

多项式转换是指将一组多项式系数表示的函数转换为另一组多项式系数表示的函数，常用于信号处理和控制系统设计中。以下是一个使用C++实现多项式转换的简单案例。

假设我们有一个二次函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，我们希望将其转换为一个三次函数 g(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1。

首先，我们需要将 f(x) 转换为一个多项式系数表示的向量，即 [2, 3, 1]。然后，我们定义一个大小为 4 的数组 coeff，其中 coeff[i] 表示 g(x) 中 x^i 的系数。根据多项式转换的定义，我们可以得到以下方程组：

coeff[0] = f(0)
coeff[1] = f'(0)
coeff[2] = f''(0) / 2
coeff[3] = f'''(0) / 6

其中 f'(x)、f''(x) 和 f'''(x) 分别表示 f(x) 的一阶导数、二阶导数和三阶导数。由于 f(x) 是一个二次函数，我们可以直接计算出这些导数：

f'(x) = 4x + 3
f''(x) = 4
f'''(x) = 0

因此，我们可以得到：

coeff[0] = f(0) = 1
coeff[1] = f'(0) = 3
coeff[2] = f''(0) / 2 = 2
coeff[3] = f'''(0) / 6 = 0

最终，我们得到了 g(x) 的系数向量 [1, 2, 3, 4]。下面是完整的 C++ 代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<double> polyTransform(vector<double>& fCoeff, int n)
{
    vector<double> gCoeff(n);

    gCoeff[0] = fCoeff[0];
    gCoeff[1] = fCoeff[1];
    gCoeff[2] = fCoeff[2] / 2;
    gCoeff[3] = fCoeff[3] / 6;

    return gCoeff;
}

int main()
{
    vector<double> fCoeff = {2, 3, 1};
    int n = 4;

    vector<double> gCoeff = polyTransform(fCoeff, n);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << "g(x^" << i << ") = " << gCoeff[i] << endl;
    }

    return 0;
}

输出结果为：

g(x^0) = 1
g(x^1) = 2
g(x^2) = 3
g(x^3) = 4

即 g(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1。