证明中心极限定理如何证?
时间: 2024-03-04 18:53:43 浏览: 31
中心极限定理是概率论中的一个重要定理,它描述了独立随机变量之和的分布近似于正态分布的情况。中心极限定理可以应用于很多领域,如统计学、物理学、生物学等。
下面我们将介绍一种常见的证明中心极限定理的方法,即利用特征函数的方法。
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是独立同分布的随机变量,均值为 $\mu$,方差为 $\sigma^2$。令 $S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$,则 $S_n$ 的特征函数为:
$$
\phi_{S_n}(t) = \prod_{i=1}^{n}\phi_{X_i}(t) = [\phi_{X_1}(t)]^n
$$
其中 $\phi_{X_i}(t)$ 是 $X_i$ 的特征函数。
由独立同分布的假设,有
$$
\mu_{S_n} = E(S_n) = E(\sum_{i=1}^{n}X_i) = \sum_{i=1}^{n}E(X_i)=n\mu
$$
$$
\sigma_{S_n}^2 = Var(S_n) = Var(\sum_{i=1}^{n}X_i) = \sum_{i=1}^{n}Var(X_i) = n\sigma^2
$$
对于标准正态分布 $Z$,其特征函数为 $\phi_Z(t) = e^{-\frac{t^2}{2}}$。
现在考虑随机变量 $Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$,则 $Z_n$ 的特征函数为:
$$
\phi_{Z_n}(t) = E(e^{it\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}}) = E(e^{it\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)})
$$
由于 $X_i$ 是独立同分布的,因此 $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)$ 的分布可以根据中心极限定理得到近似于正态分布。当 $n$ 足够大时,有:
$$
\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu) \approx N(0, n\sigma^2)
$$
因此,
$$
\phi_{Z_n}(t) \approx E(e^{it\frac{1}{\sqrt{n}}N(0, n\sigma^2)}) = \phi_Z(t\sigma\sqrt{n})
$$
这表明当 $n$ 足够大时,$Z_n$ 的分布近似于标准正态分布。因此,中心极限定理得证。
需要注意的是,中心极限定理仅在一定的条件下成立,例如独立同分布的随机变量必须具有有限的均值和方差。此外,证明中心极限定理还可以使用其他方法,例如特征函数的矩母函数逼近法、拉普拉斯变换法等。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)