动态规划中有哪些经典问题

动态规划中有许多经典问题，以下是一些常见的例子：

1. 最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）：给定一个序列，找出最长的递增子序列的长度。
2. 0-1背包问题（0-1 Knapsack Problem）：给定一组物品和一个背包，每个物品都有对应的重量和价值，在背包容量有限的情况下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
3. 最长公共子序列（Longest Common Subsequence）：给定两个序列，找到它们最长的公共子序列的长度。
4. 最短路径问题（Shortest Path Problem）：在一个加权有向图中，找到从起点到终点的最短路径。
5. 最大子数组和（Maximum Subarray Sum）：给定一个整数数组，找到其中连续子数组的最大和。
6. 最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree）：给定一组有序关键字及其对应的搜索频率，构建一棵二叉搜索树使得搜索代价最小化。

这些问题都可以使用动态规划的思想进行求解。

相关问题

动态规划经典问题找零钱

动态规划是一种常用的算法思想，用于解决一些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。其中，找零钱问题是动态规划的经典问题之一。

找零钱问题是指给定一定面额的硬币和一个目标金额，求解凑出目标金额所需的最少硬币数量。假设我们有面额为[1, 2, 5]的硬币，目标金额为11，我们可以使用动态规划来解决这个问题。

首先，我们定义一个数组dp，其中dp[i]表示凑出金额i所需的最少硬币数量。初始化dp数组为无穷大，除了dp为0，表示凑出金额0不需要任何硬币。

然后，我们从金额1开始逐步计算dp数组的值。对于每个金额i，我们遍历硬币的面额，假设当前硬币面额为coin，如果coin小于等于i，并且dp[i-coin]+1的值比dp[i]小，则更新dp[i]为dp[i-coin]+1。

最后，当计算完dp数组后，dp[amount]即为凑出目标金额所需的最少硬币数量。

下面是找零钱问题的动态规划解法的示例代码：

def coinChange(coins, amount):
    dp = [float('inf')] * (amount + 1)
    dp = 0

    for i in range(1, amount + 1):
        for coin in coins:
            if coin <= i:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

    return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

动态规划中的背包问题描述

在动态规划中，背包问题是一个经典的优化问题，它可以分为0-1背包问题和完全背包问题两种类型。

1. 0-1背包问题：
假设有一个背包，它的容量为C。现在有n个物品，每个物品的重量分别为w1, w2, ..., wn，价值分别为v1, v2, ..., vn。要求选择一些物品放入背包中，使得在不超过背包容量的前提下，背包中物品的总价值最大化。
这里的0-1表示每个物品要么放入背包中，要么不放入。

2. 完全背包问题：
与0-1背包问题类似，但不同之处在于每个物品可以选择放入背包多次（数量无限），即每个物品的选择是一个无限的选择。

解决这两类背包问题的常用方法是使用动态规划。动态规划的基本思想是将原问题拆解成若干子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。

具体来说，对于0-1背包问题，可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。状态转移方程如下：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)
其中，dp[i-1][j]表示不选择第i个物品时的最大价值，dp[i-1][j-wi] + vi表示选择第i个物品时的最大价值。

对于完全背包问题，可以使用一个一维数组dp[j]来表示容量为j的背包所能获得的最大价值。状态转移方程如下：
dp[j] = max(dp[j], dp[j-wi] + vi)
其中，dp[j]表示不选择第i个物品时的最大价值，dp[j-wi] + vi表示选择第i个物品时的最大价值。