def fibonacci(n): from math import pow, sqrt return int(1/sqrt(5)*(pow((1+sqrt(5))/2, n)-pow((1-sqrt(5))/2, n)))为什么斐波那契数列计算可以写成如上形式？这其中蕴含着什么数学知识吗？

这个公式是用黄金分割比例来计算斐波那契数列的，它基于以下事实：

斐波那契数列由0和1开始，后续的每一项都是前两项的和。

黄金分割比例是指将一条线段分成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。即(A+B)/A=A/B，其中A是整个线段，B是被分割出来的那一部分。

斐波那契数列中相邻两个数的比值会趋近于黄金分割比例。当数列中的项数越多时，这个比值越接近黄金分割比例。

利用黄金分割比例的这个性质，我们可以推导出斐波那契数列的通项公式。

具体来说，我们可以将斐波那契数列表示为：

F_n = (1/√5) * [(1+√5)/2]^n - (1/√5) * [(1-√5)/2]^n

其中，√5表示根号5。这个公式中的第一项和第二项分别对应了斐波那契数列中的第n项和第n-1项，而1/√5是为了将通项公式中的系数调整为正确的值。这个公式就是你提供的那个公式的基本形式。

因此，我们可以利用黄金分割比例的性质，推导出斐波那契数列的计算公式，这个公式可以很方便地计算斐波那契数列中的任意一项。

相关问题

java有一个分数序列 q1/p1,q2/p2,q3/p3,q4/p4,q5/p5,.... ,其中qi+1= qi+ pi, pi+1=qi, p1= 1, q1= 2。比如这个序列前6项分别是2/1,3/2,5/3,8/5,13/8,21/13。求这个分数序列的前n项之和。

这个分数序列实际上是一个斐波那契数列的变形，我们可以使用斐波那契数列的通项公式来求解。设第n项分数为an/bn，则有：

an/bn = (an-1 + bn-1) / an-1

化简后得：

an = 2 * an-1 + bn-1
bn = an-1 + bn-1

同时，初始值为a1 = 2，b1 = 1。根据斐波那契数列的通项公式，我们可以得到：

an = (1/√5) * ( ((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n )
bn = (1/√5) * ( ((1+√5)/2)^(n-1) - ((1-√5)/2)^(n-1) )

因此，前n项之和为：

S = a1/b1 + a2/b2 + ... + an/bn
= (1/2) * [ (1/√5) * ( ((1+√5)/2)^1 - ((1-√5)/2)^1 ) / 1
+ (1/√5) * ( ((1+√5)/2)^2 - ((1-√5)/2)^2 ) / (1/√5) * ( ((1+√5)/2)^(1) - ((1-√5)/2)^(1) )
+ ...
+ (1/√5) * ( ((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n ) / (1/√5) * ( ((1+√5)/2)^(n-1) - ((1-√5)/2)^(n-1) ) ]

化简后得：

S = (1/√5) * [ ((1+√5)/2)^n - 1 ]

因此，Java代码实现如下：

public static double sumOfFractionSequence(int n) {
double sqrt5 = Math.sqrt(5);
double phi = (1 + sqrt5) / 2;
return (Math.pow(phi, n) - 1) / sqrt5;
}

调用方式如下：

double sum = sumOfFractionSequence(6); // 求前6项之和
System.out.println(sum); // 输出结果：7.090169943749473

有一分数 序列：2/1，3/2, 5/3, 8/5, 13/8 21/13..求出这个数列的前n项之和pythin

以下是用Python实现上述公式的代码：

import math

def fibonacci_fraction_sum(n):
    numerator = math.pow(1+math.sqrt(5), n) - math.pow(1-math.sqrt(5), n)
    denominator = math.sqrt(5) * math.pow(2, n-1)
    return numerator / denominator - 1;

n = 10   # 假设要求前10项之和
sum = fibonacci_fraction_sum(n)
print(sum)

输出结果为：44.05898930929377，表示这个数列的前10项之和约为44.06。