判断（s+3)/(2s^4+4s^3+s^2+4s+13)是否稳定

根据极限判别法，当 $\lim_{s\to \infty} s\cdot H(s) = 0$ 时，系统是稳定的，其中 $H(s)$ 是系统的传输函数。现在我们来计算 $s\cdot H(s)$：

$$s\cdot H(s) = \frac{s^4 + 4s^3 + 3s^2}{2s^4 + 4s^3 + s^2 + 4s + 13}$$

当 $s\to \infty$ 时，分子的最高次项和分母的最高次项都是 $s^4$，因此：

$$\lim_{s\to \infty} s\cdot H(s) = \lim_{s\to \infty} \frac{s^4 + 4s^3 + 3s^2}{2s^4 + 4s^3 + s^2 + 4s + 13} = \frac{1}{2}$$

由于 $\lim_{s\to \infty} s\cdot H(s)$ 不等于零，因此根据极限判别法，系统是不稳定的。

相关问题

利用Matlab画出系统H(s)=s^2+4s+3/s^4+3s^3+4s^2+6s+4的零点极点图，并判断系统的稳定性。

在MATLAB中，你可以使用`nyquist`函数和`bode`函数来绘制系统传递函数的零点极点图以及Bode图，以评估其稳定性。对于给定的系统H(s)，它是一个多项式形式，我们可以首先确定它的系数。

系统H(s) = s^2 + 4s + 3 / (s^4 + 3s^3 + 4s^2 + 6s + 4)
其中分子是二次多项式，分母是四次多项式。

下面是绘制零点极点图并判断稳定性的步骤：

1. **确定系数**:
- 分子多项式的系数：a1=1, a0=3
- 分母多项式的系数：b4=1, b3=3, b2=4, b1=6, b0=4

2. **绘制零点极点图**:

   syms s
   num = [1, 4, 3]; % 分子系数
   den = [1, 3, 4, 6, 4]; % 分母系数
   G = tf(num, den); % 创建传递函数模型
   rlocus(G) % 绘制根轨迹图，即零点极点图

3. **判断稳定性**:
根据Nyquist曲线（根轨迹图），如果所有点都位于左半平面（实轴负半部分），则系统是稳定的；如果有任何一点穿过虚轴，系统可能会不稳定。此外，可以检查系统的特征方程（denominator polynomial），其根应该都在S-plane的左半平面。

[poles, zeros] = roots(den) % 获取极点和零点

查看极点是否都在左半平面上就可以初步判断稳定性了。

使用Matlab畫出系統H（s）=（s^2+4s+3）/（s^4+3s^3+4s^2+6s+4）的零點極點圖，並判斷系統的穩定性。不使用任何内置函数

在MATLAB中，绘制系统传递函数H(s)的零点极点图并判断其稳定性，可以按照以下步骤操作，不使用内置函数：

1. **确定系统函数**：
给定的H(s)是一个二阶多项式除以四阶多项式，表示为：

   H(s) = (s^2 + 4s + 3) / (s^4 + 3s^3 + 4s^2 + 6s + 4)

2. **计算零点和极点**：
- 零点是使得分子为零的s值，即解方程`s^2 + 4s + 3 = 0`。
- 极点是使得分母为零的s值，即解方程`s^4 + 3s^3 + 4s^2 + 6s + 4 = 0`。

3. **手动求解**：
对于二次多项式，可以使用韦达定理（例如因式分解、求根公式等）。对于高次多项式，可能需要数值方法（如牛顿法）来近似求解。

4. **绘制图形**：
- 画出零点（通常是两个虚数共轭对），记为(-2 ± i√5)。
- 画出极点（可能是实数、复数或者复数共轭对），需要先计算出来。
- 通常在复平面上使用点和线段来表示它们，零点用圆圈表示，极点用十字或者星形表示。

5. **判断稳定性**：
- 系统稳定性取决于零点和极点的位置：如果所有极点都在s平面的左半平面（Re(s) < 0），则系统稳定；如果有任何一个极点在右半平面，则系统不稳定。

由于手动计算涉及复杂的数学运算和绘制技巧，在这里无法给出详细的步骤，但在MATLAB中，可以使用以下伪代码作为参考：

% 定义系数
num = [1 4 3]; % 分子多项式的系数
den = [1 3 4 6 4]; % 分母多项式的系数

% 手动计算零点和极点（省略具体算法）
zeros = ...; % 零点
poles = ...; % 极点

% 创建复数网格
zplane_grid = linspace(-10, 10, 1000i); % 可能需要调整范围

% 计算在给定网格上的H(s)值
H_values = zeros(size(zplane_grid));
for j = 1:numel(zplane_grid)
    s_value = zplane_grid(j);
    H_values(j) = polyval(num, s_value) ./ polyval(den, s_value);
end

% 绘制零点和极点
hold on;
plot(zeros, 'o', 'MarkerFaceColor', 'r'); % 零点用红色圆圈
plot(poles, 'x', 'MarkerFaceColor', 'b'); % 极点用蓝色十字

% 绘制极坐标曲线
semilogx(H_values, imag(zplane_grid), '-b');
semilogx(abs(H_values), real(zplane_grid), '-g');

% 判断稳定性
if all(imag(poles) <= 0)
    disp('系统是稳定的');
else
    disp('系统是不稳定的');
end

hold off;

完成上述步骤后，你应该能看到零点极点图，并根据图上信息判断系统的稳定性。