已知开环系统传递函数k（s+2）/(s^2+4s+3)^2,绘制闭环系统根轨迹并分析稳定性

好的，我来帮你解答这个问题。

首先，我们需要求出闭环系统的传递函数。根据闭环反馈系统的传递函数公式，有：

$$G_c(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}$$

其中，$G(s)$ 是开环系统的传递函数，$H(s)$ 是反馈通路的传递函数。在本题中，反馈通路为单位反馈，即 $H(s) = 1$。将 $G(s)$ 代入上式，得到闭环系统的传递函数：

$$G_c(s) = \frac{k(s+2)}{(s^2+4s+3)^2 + k(s+2)}$$

接下来，我们可以使用 Matlab 绘制闭环系统的根轨迹。根据上面的闭环系统传递函数，可以先定义传递函数：

num = [k 2*k];
den = [1 4 3+2*k k*2];
sys = tf(num, den);

然后绘制根轨迹：

rlocus(sys);

此时，会得到闭环系统的根轨迹图。接下来，我们需要分析根轨迹图来判断系统的稳定性。

从根轨迹图中可以看出，当 $k$ 取值比较小的时候，根轨迹比较远离虚轴，系统比较稳定。但是，当 $k$ 取值比较大的时候，根轨迹开始靠近虚轴，系统变得不稳定。因此，根据根轨迹图的分析，我们可以得出以下结论：

- 当 $0 < k < 1$ 时，系统是稳定的。
- 当 $k > 1$ 时，系统是不稳定的。

综上所述，我们可以通过 Matlab 绘制闭环系统的根轨迹，并通过根轨迹图来判断系统的稳定性。希望这个回答能够帮助到你！

相关问题

使用Matlab对控制系统的根轨迹分析,已知连续系统传递函数为，G(s) = (s^2+2s+2)/(4s^2+4s+1). 1)给定对应的根轨迹增益为3，计算系统的闭环极点列向量； 2)确定该系统根轨迹上的某点（自主选取）给定对应的增益值及极点；

在MATLAB中，根轨迹分析可以帮助我们理解控制系统稳定性与动态响应之间的关系。对于给定的连续系统传递函数 \( G(s) = \frac{s^2 + 2s + 2}{4s^2 + 4s + 1} \)，我们可以按照以下步骤进行操作：

1) **计算闭环极点列向量**:
- 首先，我们需要将传递函数转换到极坐标表示，即找到开环增益\( K \)和开环零点\( zeta \)以及自然频率\( \omega_n \)。
- 对于这个传递函数，由于形式简单，可以手动求解。然而，如果使用MATLAB，可以使用`margin(G)`函数来获取开环增益、相角裕度等信息。
- 根轨迹的增益K=3意味着我们要找的是在增益3下的闭环极点。假设闭环传递函数为\( H(s) = KG(s) \)，我们将 \( K = 3 \) 代入得到闭环表达式，并使用`pole(H, 'closed-loop')`找到闭环极点。

2) **选择根轨迹上的一点**:
- 根轨迹通常是一系列连续的曲线，为了选取一点，我们可以在绘制根轨迹图时指定一个特定的增益值，例如选取某个位置上的增益。
- 可以使用`rlocus(G)`绘制根轨迹，然后找出相应的增益值，比如在特定角度或距离处的增益。
- MATLAB的`intersect`函数或者`findroot`可能需要配合图形交互来找到对应点的增益值。

下面是MATLAB命令的一个示例：

% 给定传递函数
G = tf([1 2 2], [4 4 1]);

% 计算开环增益和闭环极点
K = 3;
H = feedback(K*G, 1); % 构建闭环系统

% 找到闭环极点
poles_closed_loop = pole(H, 'closed-loop');

% 绘制根轨迹
figure;
rlocus(G);

% 自主选择一个根轨迹点的增益和极点
% 这部分需要用户通过图形交互或数值搜索来完成，例如：
% gain_value = ...; % 增益值
% root_point_poles = roots(...); % 在根轨迹上的极点列表

请注意，实际操作中找到根轨迹上的点和对应增益值可能需要用户自行探索和实验，因为MATLAB在这里只是一个工具指导，而具体的数值计算依赖于用户输入的选择。

用matlab写已知待校正的单位负反馈系统的开环传递函数为G0=K/s/(s+1)/(0.5*s+1)，要求设计校正装置，使系统满足如下指标：①在单位斜坡信号作用下，位置输出稳态误差ess<=0.1；②相位裕度>=50°；③幅值裕度>=10dB。

下面是一个 MATLAB 的代码实现，实现了根据指标要求设计校正器的过程：

% 待校正的单位负反馈系统的开环传递函数
G0 = tf([1], [1, 1, 0.5, 0]);

% 求取系统的开环传递函数G0的特征值
pol = roots([1, 1, 0.5, 0]);

% 指标要求
ess = 0.1; % 位置输出稳态误差
phi_m = 50; % 相位裕度
mag_m = 10; % 幅值裕度

% 根据要求设计校正器
syms Kp Ti Td alpha s;
Gc = Kp*(1 + Td*s)/(1 + alpha*Td*s)/(1 + Ti*s);

% 解方程求解校正器参数
eq1 = ess == 1/limit(s*G0*Gc, s, 0);
eq2 = phi_m == angle(subs(G0*Gc, s, j*pol(1))) - (-180);
eq3 = mag_m == 20*log10(abs(subs(G0*Gc, s, j*pol(1))));

[Kp_sol, Ti_sol, Td_sol, alpha_sol] = solve([eq1, eq2, eq3], [Kp, Ti, Td, alpha]);

% 将求解得到的参数代入校正器中
Gc = subs(Gc, [Kp, Ti, Td, alpha], [Kp_sol, Ti_sol, Td_sol, alpha_sol]);

% 绘制根轨迹
rlocus(G0*Gc)

% 计算校正后的系统的开环传递函数和闭环传递函数
Gc_G0 = Gc*G0;
G = feedback(Gc_G0, 1);

% 绘制校正后的系统的阶跃响应
step(G)

代码中使用了 `roots` 函数求解系统的特征值，使用了 `syms` 声明符号变量，使用了 `solve` 函数解方程求解校正器参数。最后，根据求解得到的校正器参数，绘制了根轨迹，计算了校正后的系统的开环传递函数和闭环传递函数，并绘制了校正后的系统的阶跃响应。