反求线性方程组的问题:(通过举一个简单的例子)如何构造一个齐次线性方 程组,使得其基础解系恰好可以是给定的向量组;
时间: 2024-06-02 15:08:54 浏览: 10
假设给定的向量组为 $\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k\}$,我们可以通过构造一个 $k \times n$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$,使得 $\boldsymbol{A}$ 的列向量恰好是给定向量组。
具体地,我们可以将每个给定向量 $\boldsymbol{v}_i$ 作为 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 列,即:
$$\boldsymbol{A} = [\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k]$$
那么对应的齐次线性方程组为:
$$\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{0}$$
其中 $\boldsymbol{x}$ 是一个 $n$ 维列向量。由于 $\boldsymbol{A}$ 的列向量恰好是给定向量组,因此 $\boldsymbol{x}$ 可以取任意线性组合,即 $\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k\}$ 的任意线性组合都可以作为 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{0}$ 的解。
因此,$\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k\}$ 构成了齐次线性方程组 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{0}$ 的一组基础解系。