给定一个低通滤波器的差分方程y(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)，求系统对x(n)=u(n)响应序列，用matlab画图

这个低通滤波器的差分方程描述了一个一阶线性常系数无限 impulse response (IIR) 滤波器。给定输入信号 \( x(n) = u(n) \)（单位阶跃函数），即初始瞬间为1，然后恒等于0），我们想要找出输出 \( y(n) \) 的序列。

对于单位阶跃输入，滤波器的响应将取决于其初始状态 \( y(-1) \) 和系统的特性。在这个特定的递推关系中，初始状态 \( y(-1) \) 对于计算是必要的，通常它假设为0，因为没有先前的信息。

我们可以写出初始几项的响应来表示前几个时间点的情况：
- \( n = 0: y(0) = 0.05 \times u(0) + 0.05 \times u(-1) + 0.9 \times y(-1) = 0.05 \)
- \( n = 1: y(1) = 0.05 \times u(1) + 0.05 \times y(0) + 0.9 \times y(-1) = 0.05 \times 0 + 0.05 \times 0.05 + 0.9 \times 0 \)
- 以此类推...

在MATLAB中，可以编写一个循环或者利用`for`循环来计算每个时间步长下的响应，并创建一个向量存储所有时间点的 \( y(n) \) 值。然后，可以用`stem`函数绘制出序列图，横坐标为时间步数，纵坐标为对应的输出值。

下面是简单的MATLAB代码示例：

% 初始化变量
T = 100; % 长度
y = zeros(T, 1); % 输出序列
x = ones(T, 1); % 单位阶跃序列

% 设置初始状态
if T > 0
    y(1) = 0.05;
end

% 计算输出序列
for n = 2:T
    y(n) = 0.05 * x(n) + 0.05 * y(n-1) + 0.9 * y(n-2);
end

% 画图
stem(1:T, y, 'o');
xlabel('Time step (n)');
ylabel('Output (y(n))');
title('Low-pass Filter Response for Unit Impulse Input');

% 相关问题--
1. 这段代码如何处理非零初始状态？
2. 如果需要改变滤波器的截止频率，应该如何修改方程？
3. 如何查看并分析滤波器的频域响应？

请注意，实际运行此代码之前，您需要确保已经安装了MATLAB环境并且熟悉基本操作。