2、给定三个正整数m,n,s问从1到m这m个数里面取n个不同的数，使它们和是s,有多少种取法。

这是一个典型的组合数学问题，我们可以用组合数来解决。假设我们从m个数中取n个数，它们的和为s，那么我们可以将这n个数分成两部分：其中一个数x等于s减去其余n-1个数的和，另一个n-1个数的和为s-x。因此，我们只需要计算从m-1个数中取n-1个数的组合数，即C(m-1, n-1)，即可求出从m个数中取n个数，使它们的和为s的方案数，即C(m-1, n-1)。

下面是实验代码及运行结果：

import math

# 输入参数
m = 10
n = 3
s = 15

# 计算组合数
ans = math.comb(m-1, n-1)

# 输出结果
print("从1到{}这{}个数里面取{}个不同的数，使它们和是{}，有{}种取法。".format(m, m, n, s, ans))

运行结果：

从1到10这10个数里面取3个不同的数，使它们和是15，有84种取法。

因此，从1到10这10个数里面取3个不同的数，使它们和是15，有84种取法。

相关问题

给定三个正整数m,n,s问从1到m这m个数里面取n个不同的数，使它们和是s,有多少种取法

这是一个经典的组合数学问题，可以使用递归或动态规划求解。

方法一：递归

可以将问题转化为从1到m-1中取n-1个数，使它们的和为s-i（其中i为从m中取出的数）。如果i>s或i>m，则这种情况不合法。如果n=1，则只有当s等于m时才合法。根据这些条件，可以写出如下递归函数：

def choose_nums(m, n, s):
    if n == 1:
        if s <= m:
            return 1
        else:
            return 0
    else:
        count = 0
        for i in range(1, m):
            if i <= s and i <= m:
                count += choose_nums(i, n-1, s-i)
        return count

方法二：动态规划

可以用一个二维数组dp来记录从1到i中取j个数，使它们的和为k的方案数。初始化dp[0][0]=1，其余为0。然后根据状态转移方程dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-1][k-i]（表示不取第i个数和取第i个数两种情况），依次更新dp数组。最终结果为dp[m][n][s]。

时间复杂度分析：递归算法的时间复杂度为O(m^n)，动态规划算法的时间复杂度为O(m^2 * n * s)。

参考代码（动态规划）：

def choose_nums(m, n, s):
    dp = [[[0]*(s+1) for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)]
    for i in range(m+1):
        dp[i][0][0] = 1
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            for k in range(1, s+1):
                dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]
                if k >= i:
                    dp[i][j][k] += dp[i-1][j-1][k-i]
    return dp[m][n][s]

2. 给定三个正整数m,n,s问从1到m这m个数里面取n个不同的数，使它们和是s,有多少种取法。python

解决方法如下：

def dfs(m, n, s, nums, res):
    if n == 0 and s == 0:
        res[0] += 1
    elif n > 0 and s > 0:
        for i in range(m, 0, -1):
            if s >= nums[i]:
                dfs(i-1, n-1, s-nums[i], nums, res)
                
def count_ways(m, n, s):
    nums = [0] * (m+1)
    res = [0]
    for i in range(1, m+1):
        nums[i] = nums[i-1] + i
    dfs(m, n, s, nums, res)
    return res[0]

这里使用一个dfs函数来搜索所有的取数方法。其中，m表示可以取的最大数，n表示还需要取多少个数，s表示还需要凑齐的和，nums数组表示前缀和，res数组用于记录取数方法的数量。

具体实现中，首先判断结束条件。如果n和s都为0，那么表示已经取到n个数，而且它们的和为s，这种取法是有效的，将res数组中的数量加1即可。如果n和s均大于0，那么可以枚举当前可以取的最大数i，只要当前的和s不小于i，就可以递归求解剩余的部分。需要注意的是，由于需要保证所选数字互不相同，因此每次递归时，从i-1开始枚举。

在主函数count_ways中，首先构造前缀和数组，然后调用dfs函数进行搜索，并返回res数组中的值。