用sql实现矩阵乘法，以此计算关系的传递闭包

在 SQL 中实现矩阵乘法可以使用 JOIN 操作。假设我们有两个矩阵 A 和 B，其中 A 是一个大小为 m×n 的矩阵，B 是一个大小为 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C 就是一个大小为 m×p 的矩阵，其中 C(i,j) 是 A 的第 i 行和 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。具体实现如下：

SELECT A.row_id, B.col_id, SUM(A.value * B.value) AS value
FROM A JOIN B ON A.col_id = B.row_id
GROUP BY A.row_id, B.col_id;

其中，A 和 B 是两个矩阵，分别用表格表示，每个元素都有一个行号和列号作为唯一标识，并且每个元素都有一个值。输出结果是一个表格，其中每行表示 C 的一个元素，包括行号、列号和值。具体来说，A 表格中的每一行都会和 B 表格中的每一列进行乘法运算，得到 C 表格中的一个元素。

关于关系的传递闭包，假设我们有一个关系 R，包含两个属性 a 和 b，表示 a 和 b 之间存在一条边。我们可以用以下 SQL 代码计算 R 的传递闭包：

WITH RECURSIVE closure(a, b) AS (
  SELECT a, b FROM R
  UNION
  SELECT c.a, d.b FROM closure AS c, R AS d
  WHERE c.b = d.a
)
SELECT * FROM closure;

这里使用了 SQL 的递归查询语法（WITH RECURSIVE），来对 R 进行迭代计算。首先，我们将 R 中的所有边作为初始传递闭包。然后，每次迭代我们将已有的传递闭包与 R 进行连接操作，并筛选出符合传递性的边，添加到传递闭包中。最终输出结果即为 R 的传递闭包。