设矩阵A是一个对称矩阵，为了节省存储空间，将其下三角部分按照行优先存放在一维数组B[0..n(n+1)/2-1]中，对于下三角部分的任一元素a_{i,j}(i>=j，i和j从0开始取值），在一维数组B中的下标k的值是____。

假设矩阵A的维数为n，则下标k的计算公式为：

k = i * (i+1) / 2 + j

其中i和j分别为矩阵A中元素a_{i,j}的行和列下标，i>=j，且0<=i,j<n。这个公式的推导可以参考下三角矩阵压缩存储的定义。

例如，当n=4时，矩阵A的下三角部分为：

1 0 0 0
2 3 0 0
4 5 6 0
7 8 9 10

按行优先存放在一维数组B中，则B的元素如下所示：

B[0]=1, B[1]=2, B[2]=3, B[3]=4, B[4]=5, B[5]=6, B[6]=7, B[7]=8, B[8]=9, B[9]=10

例如，要访问矩阵A中第3行第1列的元素a_{3,1}，可以通过下标计算公式计算出在数组B中的下标k：

k = 3 * (3+1) / 2 + 1 = 6

则B[6]的值为5，即a_{3,1}的值为5。

相关问题

设矩阵A是一个对称矩阵，为了节省存储，将其下三角部分按行序存放在一维数组B[1,n(n-1)/2]中，对下三角部分中任一元素ai,j(i>=j)，在一维数组B的下标位置k的值是？

设下标i,j在矩阵A中对应的一维数组B的下标为k，则有：

k = (i-1)*n - (i-2)(i-1)/2 + j-i

推导如下：

在矩阵A中，第i行前有i-1行，每行有n个元素，因此前i-1行共有(i-1)*n个元素。

对于第i行，其下标从i开始，到n结束，即有n-i+1个元素。但是由于A是对称矩阵，下三角部分与上三角部分相同，因此只需要存储下三角部分，即j<=i，因此第i行只需要存储i个元素。

因此，前i-1行和第i行共有(i-1)*n+i个元素，在一维数组B中的下标为：

k = (i-1)*n + i-1 + j-i
= (i-1)*n - (i-1)(i-2)/2 + j-i
= (i^2-i)/2 + j-i （化简）

因此，对于任一元素ai,j，其在一维数组B中的下标位置k为：

k = (i^2-i)/2 + j-i （i>=j）

若对称矩阵 AnXn按行顺序压缩存储，只存下三角到 一维数组 b 中，则 b 的元素个数是 ，元素 aij 在 b 中的下标是 。

对称矩阵 AnXn 的下三角（包括对角线）中的元素个数是 (n+1)*n/2，因为对称矩阵中，第 i 行第 j 列和第 j 行第 i 列的元素是相等的，只需要存储其中一个即可，因此只有下三角（包括对角线）中的元素需要存储，共有 (n+1)*n/2 个元素。

将下三角按行顺序压缩存储到一维数组 b 中，需要按照以下方式计算元素在 b 中的下标：

- 先计算该元素在矩阵中的行列坐标：对于下标 k，其所对应的元素在矩阵中的行号为 i = floor((sqrt(8*k+1)-1)/2) ，列号为 j = k - i*(i+1)/2。
- 然后再根据行列坐标计算元素在 b 中的下标：对于对称矩阵中的第 i 行第 j 列的元素，其在压缩存储的一维数组 b 中的下标为 b_index = i*(i+1)/2+j。

因此，元素 aij 在 b 中的下标是 b_index = i*(i+1)/2+j = floor((sqrt(8*k+1)-1)/2)*(floor((sqrt(8*k+1)-1)/2)+1)/2+k-floor((sqrt(8*k+1)-1)/2)*floor((sqrt(8*k+1)-1)/2+1)/2。