归一化角频率和归一化频率

归一化角频率和归一化频率是数字信号处理中常用的概念，它们可以将离散时间傅里叶变换（DTFT）的频率轴转化为标准化的单位，方便分析和比较不同信号的频率特性。

归一化角频率是指将DTFT的频率轴以π为单位进行标准化，即将实际的角频率ω转化为一个标准化的角频率k，公式为k=ω/π。归一化角频率的范围是从-1到1，对应着DTFT的频率范围从-π到π。

归一化频率是指将DTFT的频率轴以采样频率fs/2为单位进行标准化，即将实际的频率f转化为一个标准化的频率K，公式为K=f/(fs/2)。归一化频率的范围是从0到1，对应着DTFT的频率范围从0到fs。

下面是一个归一化角频率和归一化频率的例子：

假设有一个采样频率为8kHz的信号，其DTFT的频率轴范围为-π到π，现在要计算该信号在实际频率为2kHz处的幅度响应。

首先，将2kHz转化为归一化频率K：K=2kHz/(8kHz/2)=0.5。

然后，将归一化频率K转化为归一化角频率k：k=π*K=π/2。

最后，在DTFT的频率轴上找到归一化角频率为π/2的位置，读取该位置的幅度响应即可。

相关问题

巴特沃斯滤波器的归一化截止频率

### 巴特沃斯滤波器归一化截止频率概念

巴特沃斯滤波器的设计过程中，归一化是一个重要的步骤。归一化的目的是简化设计过程并使得不同采样率下的滤波器能够通过简单的变换相互转换。对于连续时间系统而言，通常将角频率 $\omega$ 进行归一化处理[^1]。

具体来说，归一化截止频率是指相对于奈奎斯特频率（即采样频率的一半）进行标准化后的截止频率值。如果原始信号的最高工作频率为 $f_s/2$ （这里假设理想情况），那么任何实际使用的截止频率都会被除以这个最大可能的工作频率来进行表示。这种做法不仅方便比较不同的滤波器设置，而且有助于理解相对带宽的影响[^2]。

### 归一化截止频率计算方法

为了更好地理解和应用这一概念，在 MATLAB 中可以通过 `buttord` 函数来获取满足特定需求的巴特沃斯滤波器阶数以及相应的归一化截止频率。该函数接受四个主要参数：通带边缘频率 (`Wp`)、阻带边缘频率(`Ws`)、通带内的最大允许波动 (Ripple in passband, `Rp`) 和 阻带最小衰减值(Stopband attenuation, `Rs`) 。这些输入均需先经过适当的比例调整成为无量纲的形式再传入函数中：

- 对于模拟滤波器，`Wp` 和 `Ws` 应当是以弧度每秒(rad/s)作为单位给出的实际物理频率；
- 而对于离散时间系统的数字滤波器，则应将其转化为关于 Nyquist frequency 的比例因子形式，也就是将 Hz 单位下的频率除以一半的采样速率 $(f_s / 2)$ 得到的结果[^3]。

一旦得到了合适的归一化截止频率之后，就可以继续调用 `butter` 或者其他相关工具箱中的命令完成最终的滤波器构建了。

% 假设已知条件如下：
Fs = 800; % Sampling Frequency
Fpass = 100; % Passband edge frequency in Hertz
Fstop = 150; % Stopband edge frequency in Hertz
Ap = 1;    % Maximum allowed ripple within the passband in decibels
As = 60;   % Minimum stopband attenuation required in decibels

% 将Hz转成Nyquist freq.
Wp = Fpass/(Fs/2);
Ws = Fstop/(Fs/2);

% 使用 buttord 来求解 n 和 Wn
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s');
disp(['Order of filter is ', num2str(n)]);
disp(['Normalized cutoff frequencies are ', num2str(Wn)]);

% 接下来可以根据所得结果进一步创建滤波器...
[b,a]=butter(n,Wn,'low','s'); 

怎么做到对角频率归一化？怎么理解归一化

在Matlab中，实现对角频率归一化的方法是通过将原始的数字滤波器的截止频率除以采样频率的一半来计算。具体地说，如果数字滤波器的截止频率是 $f_c$，则对角频率归一化的截止频率为 $f_c/(Fs/2)$，其中 $Fs$ 是采样频率。

归一化是将一组数据在某个方面进行标准化处理，使得它们可以进行更加直观、更加有效的比较。在这种情况下，对角频率归一化是一种将数字滤波器频率表达成标准化形式的方法。通过将截止频率除以采样频率的一半，得到的结果范围在 0 到 1 之间，对于不同采样频率的信号，采用这种方法可以消除单位的影响，方便进行比较。