fista算法及其python代码

FISTA（Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm）是一种用于求解稀疏优化问题的迭代算法。它是对ISTA（Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm）算法的改进，通过引入Nesterov加速技术，使得收敛速度更快。

下面是FISTA算法的伪代码：

输入：目标函数f(x)，梯度函数∇f(x)，稀疏项函数g(x)，步长参数L
输出：最优解x*

1. 初始化：设置x0 = 0，y0 = x0，t0 = 1
2. for k = 0, 1, 2, ... do
3. 计算梯度：gk = ∇f(yk)
4. 更新x：xk+1 = soft_threshold(yk - 1/L * gk, 1/L)
5. 更新t：tk+1 = (1 + sqrt(1 + 4 * t^2)) / 2
6. 更新y：yk+1 = xk+1 + (t - 1) / t+1 * (xk+1 - xk)
7. 如果满足终止条件，跳出循环
8. end for
9. 返回最优解x*

其中，soft_threshold(x, λ)是软阈值函数，定义为：
soft_threshold(x, λ) = sign(x) * max(|x| - λ, 0)

下面是使用Python实现的FISTA算法代码：

import numpy as np

def fista(f, grad_f, g, L, max_iter=1000, tol=1e-4):
    x = np.zeros_like(grad_f(0))  # 初始化x
    y = x.copy()  # 初始化y
    t = 1  # 初始化t

    for _ in range(max_iter):
        grad_fk = grad_f(y)  # 计算梯度
        x_new = soft_threshold(y - 1/L * grad_fk, 1/L)  # 更新x
        t_new = (1 + np.sqrt(1 + 4 * t**2)) / 2  # 更新t
        y = x_new + (t - 1) / t_new * (x_new - x)  # 更新y

        if np.linalg.norm(x - x_new) < tol:  # 终止条件
            break

        x = x_new

    return x

def soft_threshold(x, lambda_):
    return np.sign(x) * np.maximum(np.abs(x) - lambda_, 0)

在上述代码中，f是目标函数，grad_f是目标函数的梯度函数，g是稀疏项函数，L是步长参数。max_iter是最大迭代次数，tol是迭代停止的容差。

你可以根据自己的问题，将目标函数f、梯度函数∇f、稀疏项函数g以及步长参数L进行相应的定义和实现。