交叉熵损失函数 导数

交叉熵损失函数的导数可以通过对损失函数进行求导得到。假设有n个样本，第i个样本的真实标签为y_i，预测标签为p_i，则交叉熵损失函数可以表示为：

L = -1/n * ∑(y_i * log(p_i) + (1-y_i) * log(1-p_i))

对L进行求导，可以得到：

dL/dp_i = -y_i/p_i + (1-y_i)/(1-p_i)

将p_i带入上式，可以得到：

dL/dp_i = (p_i - y_i)/(p_i * (1-p_i))

因此，交叉熵损失函数的导数为：

dL/dw = 1/n * ∑(x_i * (p_i - y_i))

其中，w表示模型的参数，x_i表示第i个样本的特征。

相关问题

交叉熵损失函数的导数python代码

交叉熵损失函数的导数可以表示为:

$$\frac{\partial L}{\partial z} = \frac{1}{m}(\hat{y} - y)$$

其中，$L$是损失函数，$z$是输出层的带权输入，$\hat{y}$是模型的预测值，$y$是真实值，$m$是样本数量。

对于Python代码，可以如下实现：

def cross_entropy_loss_derivative(y_hat, y):
    """
    计算交叉熵损失函数的导数
    :param y_hat: 模型的预测值，shape为(m, 1)
    :param y: 真实值，shape为(m, 1)
    :return: 导数，shape为(m, 1)
    """
    m = y.shape[0]
    return (1/m) * (y_hat - y)

其中，$y\_hat$和$y$都是形如$(m, 1)$的矩阵，分别表示模型的预测值和真实值。函数返回形如$(m, 1)$的矩阵，表示交叉熵损失函数的导数。

def cost_derivative(self, output_activations, y): return (output_activations - y)改为交叉熵损失函数的导数

如果使用交叉熵损失函数，则代价函数的公式为：
$$
C = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n [y_i \ln a_i + (1-y_i) \ln (1-a_i)]
$$
其中，$n$ 为样本数量，$y_i$ 表示第 $i$ 个样本的真实标签，$a_i$ 表示模型预测的标签。

对代价函数求导有：
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial C}{\partial a_i} &= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[\frac{y_i}{a_i} - \frac{1-y_i}{1-a_i} \right] \\
&= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[\frac{y_i}{a_i(1-a_i)} - \frac{1-y_i}{(1-a_i)a_i} \right] \\
&= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[\frac{y_i}{a_i(1-a_i)} - \frac{1}{a_i} + \frac{1}{1-a_i} - \frac{1-y_i}{(1-a_i)a_i} \right] \\
&= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[\frac{y_i-a_i}{a_i(1-a_i)} \right]
\end{aligned}
$$

因此，交叉熵损失函数的导数为：
$$
\frac{\partial C}{\partial z_i} = a_i - y_i
$$
其中，$z_i$ 表示第 $i$ 个样本的输出结果经过 sigmoid 函数激活后的值。