证明递推最小二乘算法的算法增益,在迭代次数趋于无穷时,趋近于0
时间: 2024-06-02 12:05:20 浏览: 189
证明递推最小二乘算法的算法增益趋近于0的方法可以通过分析算法增益的迭代公式来实现。假设我们使用递推最小二乘算法求解线性回归问题,其中参数向量的迭代公式为:
$$\boldsymbol{w}_{k+1}=\boldsymbol{w}_{k}-\mu_k\nabla E_k$$
其中,$\boldsymbol{w}_{k}$是第$k$次迭代的参数向量,$\mu_k$是第$k$次迭代的步长,$\nabla E_k$是第$k$次迭代的梯度向量。
为了分析算法增益的趋势,我们可以将上述迭代公式展开得到:
$$\boldsymbol{w}_{k+1}=\boldsymbol{w}_0-\mu_0\nabla E_0-\mu_1\nabla E_1-\cdots-\mu_k\nabla E_k$$
其中,$\boldsymbol{w}_0$是初始参数向量,$\mu_0,\mu_1,\cdots,\mu_k$是每一次迭代的步长。将上式两边同时乘以$\boldsymbol{w}^T_{k+1}$,然后对$k$求和得到:
$$\sum_{k=0}^{+\infty}\boldsymbol{w}^T_{k+1}\boldsymbol{w}_{k+1}=\boldsymbol{w}^T_0\boldsymbol{w}_0-\sum_{k=0}^{+\infty}\mu_k\boldsymbol{w}^T_{k+1}\nabla E_k$$
因此,我们可以得到算法增益的迭代公式:
$$G_k=\frac{\boldsymbol{w}^T_{k+1}\boldsymbol{w}_{k+1}}{\boldsymbol{w}^T_k\boldsymbol{w}_k}-1=-\frac{\mu_k\boldsymbol{w}^T_{k+1}\nabla E_k}{\boldsymbol{w}^T_k\boldsymbol{w}_k}$$
在递推最小二乘算法中,步长$\mu_k$通常被选择为一个固定值,而梯度向量$\nabla E_k$则根据当前的参数向量$\boldsymbol{w}_k$计算得到。因此,算法增益的大小取决于$\boldsymbol{w}^T_{k+1}\nabla E_k$与$\boldsymbol{w}^T_k\boldsymbol{w}_k$之间的比例关系。
在迭代次数趋近于无穷时,假设算法已经收敛到最优解,那么我们可以认为$\nabla E_k$趋近于零向量,此时算法增益的值也趋近于零。因此,在递推最小二乘算法中,当迭代次数趋近于无穷时,算法增益会趋近于零。