用坐标轮换法求f(x)=10(x1+x2-5)^2+(x1-x2)^2函数的极小点和极小值（用matlab语言编写程序）

在MATLAB中，你可以使用`fminunc`函数结合坐标轮换法（如Levenberg-Marquardt算法）来寻找非线性函数的最小值。首先，你需要将函数`f(x)`转换为向量形式，并设置初始猜测点。这里是一个简化的例子说明如何编写程序：

% 定义函数f(x)
fun = @(x) 10*(x(1)+x(2)-5).^2 + (x(1)-x(2)).^2;

% 设置初始猜测点，例如x1=0, x2=0
x0 = [0; 0];

% 使用fminunc函数和坐标旋转法
options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'trust-region-reflective'); % Levenberg-Marquardt算法
[x_min, f_min] = fminunc(fun, x0, options);

% 检查结果
[min_x, min_f] = min([x_min; fun(x_min)]); % 取极小值和对应的解
fprintf('极小点:\n');
disp(min_x);
fprintf('极小值:\n');
fprintf('%f\n', min_f);

% 极小点和极小值

相关问题

用坐标轮换法求目标函数f(x)=x1^2+x2^2-x1x2-10x1-4x2+60的无约束最优值（极小值）给定初始点(0,0)，精度0.1

首先，将目标函数改写为矩阵的形式：

$$
f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + 60
$$

可以发现，矩阵 $\begin{bmatrix} x_1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & x_2 \end{bmatrix}$ 为对称矩阵，因此可以使用坐标轮换法来进行优化。具体步骤如下：

1. 初始化 $\mathbf{x}^{(0)} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，$k=0$，设精度 $\epsilon=0.1$。
2. 对于每个轮换 $i \in \{1,2\}$，进行如下操作：
1. 计算 $\mathbf{y} = \mathbf{x}^{(k)}$。
2. 计算 $\mathbf{d} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，其中 $d_i = -y_i$，$d_j = y_j$（$j \neq i$）。
3. 在方向 $\mathbf{d}$ 上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_i$。
4. 更新 $\mathbf{x}^{(k+1)} = \mathbf{x}^{(k)} + \alpha_i \mathbf{d}$。
5. 如果 $\|\mathbf{x}^{(k+1)} - \mathbf{x}^{(k)}\| < \epsilon$，则跳出循环。
6. 将 $k$ 更新为 $k+1$，继续下一个轮换。
3. 输出最终解 $\mathbf{x}^{(k)}$ 和最小值 $f(\mathbf{x}^{(k)})$。

下面是具体的计算过程：

对于第一个轮换 $i=1$：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{y} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\
\mathbf{d} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\
d_1 &= -y_1 = 0 \\
d_2 &= y_2 = 0 \\
f(\mathbf{x}^{(k)} + \alpha \mathbf{d}) &= \frac{1}{4} \alpha^2 - 10\alpha + 60 \\
\frac{\partial f(\mathbf{x}^{(k)} + \alpha \mathbf{d})}{\partial \alpha} &= \frac{1}{2} \alpha - 10 \\
\frac{\partial^2 f(\mathbf{x}^{(k)} + \alpha \mathbf{d})}{\partial \alpha^2} &= \frac{1}{2} \\
\alpha_1 &= \frac{\partial f(\mathbf{x}^{(k)} + \alpha \mathbf{d})}{\partial \alpha} \Bigg/ \frac{\partial^2 f(\mathbf{x}^{(k)} + \alpha \mathbf{d})}{\partial \alpha^2}
= 20 \\
\mathbf{x}^{(k+1)} &= \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix} \\
\|\mathbf{x}^{(k+1)} - \mathbf{x}^{(k)}\| &= 20 \\
\end{aligned}
$$

对于第二个轮换 $i=2$：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{y} &= \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix} \\
\mathbf{d} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\
d_1 &= y_1 = 20 \\
d_2 &= -y_2 = 0 \\
f(\mathbf{x}^{(k)} + \alpha \mathbf{d}) &= -20\alpha + 400 \\
\frac{\partial f(\mathbf{x}^{(k)} + \alpha \mathbf{d})}{\partial \alpha} &= -20 \\
\frac{\partial^2 f(\mathbf{x}^{(k)} + \alpha \mathbf{d})}{\partial \alpha^2} &= 0 \\
\alpha_2 &= \frac{\partial f(\mathbf{x}^{(k)} + \alpha \mathbf{d})}{\partial \alpha} \Bigg/ \frac{\partial^2 f(\mathbf{x}^{(k)} + \alpha \mathbf{d})}{\partial \alpha^2}
= -\infty \\
\end{aligned}
$$

由于 $\alpha_2$ 不存在，第二个轮换结束。最终解为 $\mathbf{x}^{(1)} = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix}$，最小值为 $f(\mathbf{x}^{(1)}) = -380$。

需要注意的是，当 $f(\mathbf{x})$ 不是凸函数时，坐标轮换法可能会陷入局部最优解。因此，需要使用多个初始点进行优化，以避免陷入局部最优解。另外，坐标轮换法只适用于一些特殊的问题，对于一般的优化问题，需要使用更为通用的优化算法，如牛顿法、拟牛顿法等。

python编写约束坐标轮换法解决问题 1.目标函数：x1^2+2*x2^2-4*x1-8*x2+15 2.约束条件为：9-x1^2-x2^2>=0；x1>=0；x2>=0 3.取终止限：epsilon=0.1

要解决这个问题，你需要使用非线性优化算法，例如Python的Scipy库中的`optimize.minimize`函数，它可以找到满足给定约束条件的目标函数最小值。由于题目提到的是一个二次规划问题，我们可以使用Sequential Least Squares Programming (SLSQP) 方法。首先，我们需要设置一个名为`objective_function`的目标函数，以及`constraints`列表表示约束条件。

这里是使用Scipy的一个例子：

from scipy.optimize import minimize
import numpy as np

# 目标函数
def objective_function(x):
    return x[0]**2 + 2*x[1]**2 - 4*x[0] - 8*x[1] + 15

# 约束函数
def constraint1(x):
    return 9 - x[0]**2 - x[1]**2

def constraint2(x):
    return x[0]

def constraint3(x):
    return x[1]

# 约束条件
cons = [{'type': 'ineq', 'fun': constraint1}, {'type': 'ineq', 'fun': constraint2}, {'type': 'ineq', 'fun': constraint3}]

# 初始猜测点
initial_guess = [0.5, 0.5]  # 可调整为其他值

# 设置终止条件（epsilon）
epsilon = 0.1

# 运行优化
solution = minimize(objective_function, initial_guess, constraints=cons, options={'eps': epsilon})

# 输出结果
print(f"最优解: {solution.x}")
print(f"最小值: {solution.fun}")