现代设计方法及其应用matlab坐标轮换法无约束优化问题

现代设计方法是一种综合应用计算机科学、数学、工程学等多个领域的设计方法，旨在实现高效、精确、可靠、可持续的产品设计和制造。

坐标轮换法是现代设计方法中的一种常用技术，可以应用于多个领域的优化问题，包括无约束优化问题。下面以最小化 Rosenbrock 函数为例，演示如何使用 MATLAB 中的坐标轮换法求解无约束优化问题。

Rosenbrock 函数是一个经典的无约束优化问题，其公式如下：

$$f(x_1, x_2) = (1 - x_1)^2 + 100(x_2 - x_1^2)^2$$

该函数的最小值在 $(x_1, x_2) = (1, 1)$ 处，是一个具有窄而深的山谷结构的函数。

使用坐标轮换法求解 Rosenbrock 函数的最小值，可以按照如下步骤进行：

1. 初始化变量 $x_1$ 和 $x_2$，并设定迭代次数 $n$。
2. 进行 $n$ 次坐标轮换，每次都向右移动一位，并将最后一个元素赋值为当前的 $x_1$ 或 $x_2$。
3. 计算当前坐标轮换后的 $x_1$ 和 $x_2$ 对应的 Rosenbrock 函数值，取最小值作为当前的最优解。
4. 将最优解作为下一次迭代的初始值，重复步骤 2-3 直到达到设定的迭代次数。

下面是一个简单的 MATLAB 程序，用于求解 Rosenbrock 函数的最小值：

function res = coordinateRotationOptimization()
% 使用坐标轮换法求解 Rosenbrock 函数的最小值

% 初始化参数
n = 1000; % 迭代次数
x = [-1, -1]; % 初始值

for i = 1 : n % 进行 n 次坐标轮换
    x = circshift(x, [0 1]); % 向右移动一位
    x(2) = x(1); % 将最后一个元素赋值为当前的 x1
    % 计算 Rosenbrock 函数值，并取最小值
    f1 = (1 - x(1))^2 + 100 * (x(2) - x(1)^2)^2;
    x(1) = x(2); % 将最后一个元素赋值为当前的 x2
    f2 = (1 - x(1))^2 + 100 * (x(2) - x(1)^2)^2;
    if f1 < f2
        x(2) = x(1);
    end
end

res = x; % 返回最优解

end

该程序中使用了 MATLAB 自带的 `circshift` 函数进行坐标轮换，同时计算了每个坐标轮换后的 Rosenbrock 函数值，并取最小值作为当前的最优解。最终，程序返回的结果为 Rosenbrock 函数的最小值点 $(x_1, x_2)$。