Crank Nicolson求解一维抛物线型的matlab程序的边值条件在哪
时间: 2024-04-14 20:28:24 浏览: 136
在Crank-Nicolson方法的MATLAB程序中,边界条件通常是通过设置矩阵A和向量b来实现的。
在示例程序中,边界条件被设置为:
A(1, 1) = 1;
A(N+1, N+1) = 1;
这意味着在矩阵A的第一行和最后一行,系数矩阵A的对角线元素为1,表示边界点的值不会发生变化。
而在迭代求解过程中,边界值也被考虑在内:
b(1) = u0(1);
b(N+1) = u0(N+1);
这里将初始条件u0的边界值分别设置为向量b的第一个和最后一个元素。
通过这样设置矩阵和向量,即可将边界条件纳入Crank-Nicolson方法的求解过程中。
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Crank Nicolson求解一维抛物线型的matlab程序
以下是使用Crank-Nicolson方法求解一维抛物线型方程的MATLAB程序示例:
% 设置初始条件和参数
L = 1; % 空间范围
T = 1; % 时间范围
N = 100; % 空间网格数
M = 100; % 时间网格数
dx = L/N; % 空间步长
dt = T/M; % 时间步长
r = dt/(dx^2); % 稳定性参数
x = linspace(0, L, N+1); % 空间网格
u0 = sin(pi*x); % 初始条件
% 构建矩阵
A = zeros(N+1, N+1);
A(1, 1) = 1;
A(N+1, N+1) = 1;
for i = 2:N
A(i, i-1) = -r/2;
A(i, i) = 1+r;
A(i, i+1) = -r/2;
end
% 迭代求解
u = u0';
for j = 1:M
b = zeros(N+1, 1);
b(1) = u0(1);
b(N+1) = u0(N+1);
for i = 2:N
b(i) = r/2*u(i-1) + (1-r)*u(i) + r/2*u(i+1);
end
u = A\b;
end
% 绘图
plot(x, u);
xlabel('x');
ylabel('u');
title('Crank-Nicolson方法求解一维抛物线型方程');
该程序使用Crank-Nicolson方法求解一维抛物线型方程,并包括设置初始条件和参数、构建矩阵、迭代求解和绘图等步骤。
请写出利用 Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程的matlab代码
好的,以下是利用 Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程的 Matlab 代码:
% 定义参数
L = 1; % 区间长度
T = 0.5; % 时间长度
n = 100; % 空间步数
m = 100; % 时间步数
h = L/n; % 空间步长
k = T/m; % 时间步长
r = k/(h^2); % 稳定性参数
x = linspace(0, L, n+1); % 空间网格点
t = linspace(0, T, m+1); % 时间网格点
% 定义初始条件和边界条件
u0 = sin(pi*x);
u0(1) = 0;
u0(n+1) = 0;
% 使用 Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程
A = zeros(n-1,n-1);
for i = 1:n-2
A(i,i) = 1+2*r;
A(i,i+1) = -r;
A(i+1,i) = -r;
end
A(n-1,n-1) = 1+2*r;
u = u0(2:n);
for j = 1:m
b = u + r*(u([2:n-1])-2*u+[1:n-2]+u([3:n]));
b(1) = b(1) + r*u0(1);
b(n-1) = b(n-1) + r*u0(n+1);
u = A\b;
end
% 绘制图像
u = [0 u 0];
plot(x,u);
xlabel('x');
ylabel('u');
title('Solution of Parabolic Equation using Crank-Nicolson Method');
以上代码中,我们先定义了一些参数,包括区间长度 L、时间长度 T、空间步数 n、时间步数 m、空间步长 h、时间步长 k、空间网格点 x 和时间网格点 t。然后我们定义了初始条件和边界条件,即初值条件为 $u(x,0)=\sin(\pi x)$,边界条件为 $u(0,t)=u(1,t)=0$。
接下来我们使用 Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程。先定义系数矩阵 A,然后在每个时间步中计算右端项 b,并解出线性方程组 $Au=b$,得到下一个时间步的解 u。最后我们将边界点加回去,并绘制出解的图像。
需要注意的是,这里我们使用了向量 u 去存储网格点上的函数值,因此在计算右端项 b 和边界条件时需要注意索引的偏移。