分别讨论n=1,2,3,4下牛顿-科茨公式的代数精度
时间: 2023-09-09 07:12:32 浏览: 55
牛顿-科茨公式是求解常微分方程初值问题的一种数值方法,它是基于泰勒级数展开的,具有高精度和稳定性等优点。在牛顿-科茨公式中,n代表公式的阶数,n越高,精度越高。下面我们分别讨论n=1,2,3,4下牛顿-科茨公式的代数精度:
1. 当n=1时,牛顿-科茨公式为:
$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n)$$
它的截断误差为:
$$R_n = \frac{y_{n+1} - y_n}{h} - f(t_n,y_n)$$
将y的泰勒展开式带入上式,得到:
$$R_n = \frac{1}{2} h^2 y''(\xi)$$
所以,当n=1时,牛顿-科茨公式的代数精度为1。
2. 当n=2时,牛顿-科茨公式为:
$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) + \frac{h^2}{2}f'(t_n,y_n)$$
它的截断误差为:
$$R_n = \frac{1}{6} h^3 y'''(\xi)$$
所以,当n=2时,牛顿-科茨公式的代数精度为2。
3. 当n=3时,牛顿-科茨公式为:
$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) + \frac{h^2}{2}f'(t_n,y_n) + \frac{h^3}{6}f''(t_n,y_n)$$
它的截断误差为:
$$R_n = \frac{1}{24} h^4 y^{(4)}(\xi)$$
所以,当n=3时,牛顿-科茨公式的代数精度为3。
4. 当n=4时,牛顿-科茨公式为:
$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) + \frac{h^2}{2}f'(t_n,y_n) + \frac{h^3}{6}f''(t_n,y_n) + \frac{h^4}{24}f'''(t_n,y_n)$$
它的截断误差为:
$$R_n = \frac{1}{120} h^5 y^{(5)}(\xi)$$
所以,当n=4时,牛顿-科茨公式的代数精度为4。
综上所述,随着n的增加,牛顿-科茨公式的代数精度也随之增加。因此,在实际使用中,我们需要根据问题的具体情况选择合适的n值,以达到较高的数值精度。
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