admm for lasso

ADMM (Alternating Direction Method of Multipliers) 是一种用于求解LASSO问题的优化算法。LASSO（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）是一种常用的特征选择和稀疏表示的方法，经常用于线性回归和相关问题的求解。

ADMM 算法通过引入辅助变量和拉格朗日乘子，将原始的优化问题分解成几个子问题，然后通过交替地求解这些子问题来逐步逼近最优解。在LASSO问题中，ADMM算法可以有效地求解带L1范数惩罚的损失函数的最小化问题，这种问题在特征选择和模型稀疏表示中经常会遇到。

具体来说，ADMM算法通过交替更新原始变量、辅助变量和拉格朗日乘子的方式来求解LASSO问题。在每一步迭代中，首先通过坐标下降法或投影梯度法更新原始变量，然后通过软阈值算子更新辅助变量以实现L1范数惩罚，最后通过拉格朗日乘子的更新来实现对偶变量的调整。通过不断重复这些步骤，ADMM算法能够逐步逼近LASSO问题的最优解，并且能够充分利用问题的结构和稀疏性质，提高求解效率和稳定性。

总之，ADMM算法是一种强大的优化算法，特别适用于求解带有稀疏结构的优化问题，包括LASSO问题。它可以通过交替更新变量和辅助变量的方式，逐步逼近最优解，同时具有较高的求解效率和稳定性。因此，在实际应用中，ADMM算法常常被用来求解LASSO问题，以实现特征选择和稀疏表示的目的。

相关问题

admm-lasso分位数回归代码

ADMM-lasso分位数回归模型的代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def admm_lasso_quantile(X, y, tau, rho, alpha, max_iter=1000, tol=1e-4):
    m, n = X.shape
    z = np.zeros(n)
    u = np.zeros(n)
    theta = np.zeros(n)

    def prox(z, rho):
        return np.sign(z) * np.maximum(np.abs(z) - alpha/rho, 0)

    for i in range(max_iter):
        # update theta
        theta = minimize(lambda x: np.sum((X @ x - y)**2) + rho/2 * np.sum((x - z + u)**2),
                         theta).x
        # update z
        z_old = z.copy()
        z = prox(theta + u, rho)
        # update u
        u = u + theta - z

        # check convergence
        if np.linalg.norm(z - z_old) < tol:
            break

    return z

其中，输入参数为：

- `X`：一个 m x n 的矩阵，表示 m 个样本的 n 个特征。
- `y`：长度为 m 的向量，表示 m 个样本的标签。
- `tau`：分位数的值，范围为 [0, 1]。
- `rho`：ADMM算法的惩罚系数。
- `alpha`：lasso回归中的正则化系数。
- `max_iter`：最大迭代次数。
- `tol`：收敛条件。

函数输出为一个长度为 n 的向量，表示模型的系数。

admm-lasso加权分位数回归代码

以下是admm-lasso加权分位数回归的代码示例：

import numpy as np
from scipy.linalg import norm

def admm_lasso_wqr(X, y, w, lam, rho, alpha, max_iter=1000, tol=1e-4):
    n_samples, n_features = X.shape
    z = np.zeros(n_features)
    u = np.zeros(n_features)
    q = np.zeros(n_samples)
    p = np.percentile(np.abs(y - np.mean(y)), alpha)
    
    Xw = X * np.sqrt(w.reshape(-1, 1))
    yw = y * np.sqrt(w)
    
    inv = np.linalg.inv(Xw.T @ Xw + rho * np.identity(n_features))
    
    for i in range(max_iter):
        z_old = z.copy()
        q_old = q.copy()
        
        # update z
        z = inv @ (Xw.T @ yw + rho * (u - z))
        
        # update q
        q = np.maximum(y - X @ z - p, 0) - np.maximum(-y + X @ z - p, 0)
        
        # update u
        u = u + rho * (z - q)
        
        # check convergence
        r_norm = norm(z - q)
        s_norm = norm(-rho * (z - z_old))
        eps_pri = np.sqrt(n_features) * tol + tol * max(norm(X @ z), norm(-q))
        eps_dual = np.sqrt(n_features) * tol + tol * norm(rho * u)
        if r_norm < eps_pri and s_norm < eps_dual:
            break
            
    beta = z.copy()
    return beta

其中，`X`是输入特征矩阵，`y`是目标变量向量，`w`是样本权重向量，`lam`是L1正则化系数，`rho`是ADMM参数，`alpha`是分位数水平，`max_iter`是最大迭代次数，`tol`是收敛阈值。

在函数中，首先根据样本权重`w`对输入特征矩阵和目标变量向量进行加权处理。然后，初始化变量`z`、`u`、`q`，并根据分位数水平`alpha`计算分位数`p`。接着，使用ADMM算法对模型进行迭代优化，更新变量`z`、`q`、`u`，直到满足收敛条件为止。最后，返回稀疏系数向量`beta`。