对非零实数，利用牛顿迭代法设计一个不用除法运算的算法来计算的倒数。用该算法计算,要求绝对误差不超过。

好的，这是一个非常有趣的问题。我会尽力解答。

对于一个非零实数 $x$，其倒数 $1/x$ 可以表示为以下形式：

$$
\frac{1}{x} = \frac{1}{x_0} - \frac{x - x_0}{x_0^2} + \frac{(x - x_0)^2}{x_0^3} - \frac{(x - x_0)^3}{x_0^4} + \cdots
$$

其中 $x_0$ 是一个初始估计值，这个式子可以通过泰勒展开推导得出。

我们可以利用牛顿迭代法来逐步逼近这个式子的值。具体来说，我们可以通过以下方式进行迭代：

$$
x_{n+1} = x_n + x_n(1 - x x_n)
$$

其中 $x_n$ 是第 $n$ 次迭代的估计值。这个式子可以通过对 $\frac{1}{x}$ 求导并令导数为 $0$ 推导得出。

为了避免除法运算，我们可以将 $1/x$ 转化为 $x^{-1}$ 来计算。具体来说，我们可以先计算 $2^{-1}, 4^{-1}, 8^{-1}, \cdots$ 的值，然后利用这些值逐步逼近 $x^{-1}$ 的值。

具体的算法流程如下：

1. 将 $x$ 转化为 $2^m \cdot y$ 的形式，其中 $m$ 是 $x$ 的指数部分，$y$ 是 $x$ 的尾数部分。

2. 利用移位操作计算 $2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3}, \cdots, 2^{-k}$ 的值，其中 $k$ 是满足 $2^{-k} \leq \epsilon/2$ 的最大整数。

3. 初始化 $x_0$ 的值为 $y \cdot 2^{-k}$。

4. 迭代计算 $x_{n+1} = x_n + x_n(1 - x x_n)$，直到满足 $|x_{n+1} - x_n| < \epsilon$，其中 $\epsilon$ 是要求的绝对误差。

5. 计算 $x^{-1} = 2^m \cdot x_n$ 的值。

注意，这个算法的正确性需要证明。同时，这个算法可能并不是最优的，还有其他更高效的算法可以用来计算倒数。