若矩阵 A 和 B 均为可逆阵，则 AB = BA。

这个结论不一定成立。

举个反例，考虑以下两个矩阵：

A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}

可以验证 A 和 B 均为可逆阵，且 AB = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{bmatrix}

而 BA = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}

显然 AB ≠ BA。

相关问题

若矩阵 C = AB 是可逆的，则矩阵 A 和 B 均为可逆阵

。证明：

若矩阵 C = AB 是可逆的，即存在矩阵 D，使得 CD = DC = I。

由矩阵乘法的结合律可得：

D = D(I) = D(CD) = (DC)D = ID = D

因此，矩阵 D 是可逆的，且逆矩阵为 D^-1 = D。则有：

CD = DC = I

左乘 C^-1 可得：

C^-1CD = C^-1

即 D = C^-1，因此：

ABD^-1 = I

左乘 A^-1 可得：

B = A^-1

因此，矩阵 A 和 B 均为可逆阵。

若矩阵 C = AB 是可逆的，则矩阵 A 和 B 均为可逆阵。

假设矩阵 A 不可逆，则存在非零向量 x 使得 Ax = 0。因此，对于任意非零向量 y，有

Cy = AB y = A(B y) = A(0) = 0

这意味着 C 的列空间是一个零空间，因此 C 不可逆，与假设矛盾。因此，矩阵 A 必须是可逆的。

同样地，假设矩阵 B 不可逆，则存在非零向量 x 使得 Bx = 0。因此，对于任意非零向量 y，有

Cy = AB y = A(B y) = A(0) = 0

这意味着 C 的列空间仅包含零向量，因此 C 不可逆，与假设矛盾。因此，矩阵 B 必须是可逆的。

综上所述，如果矩阵 C = AB 是可逆的，则矩阵 A 和 B 均为可逆阵。