用降阶方式化二次型为规范型Maltab

降阶方式化二次型为规范型的步骤如下：

1. 先将二次型写成矩阵形式：$Q = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$

2. 求出矩阵 $Q$ 的特征值和特征向量。

3. 将特征向量组成正交矩阵 $P$，使得 $P^TQP=D$，其中 $D$ 是对角阵，对角线上的元素是 $Q$ 的特征值。

4. 如果特征值不同，则规范型为 $\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2$。

如果特征值相同，则需要进行降阶处理。设 $\lambda$ 为特征值，$r$ 为特征值 $\lambda$ 的代数重数，$P_r$ 为与特征值 $\lambda$ 相关的全部特征向量所组成的矩阵。则降阶后的规范型为 $\lambda x_1^2+\cdots+\lambda x_r^2$。

下面是Matlab的代码实现：

% 将二次型写成矩阵形式
Q = [1 2;2 2];
% 求出矩阵Q的特征值和特征向量
[V,D] = eig(Q);
% 对特征向量进行正交化处理
P = orth(V);
% 将P的转置乘以Q再乘以P得到对角阵D
D = P'*Q*P;
% 判断特征值是否相同
if D(1,2)==0
    % 特征值不同的情况
    fprintf('规范型为：%dx1^2 + %dx2^2\n',D(1,1),D(2,2));
else
    % 特征值相同的情况
    lambda = D(1,1);
    r = sum(diag(D)==lambda);
    Pr = P(:,1:r);
    fprintf('规范型为：%dx1^2 + %dx2^2\n',lambda*ones(1,r));
end