给出一个矩阵A，使得任意x属于C^n,x^*Ax的结果中不包含原点

可以考虑构造一个对角线元素都为正数的矩阵A，这样对于任意非零向量x，x^*Ax的结果都是正数。具体来说，可以取：

A = diag([1, 2, ..., n])

其中`diag`表示对角线元素构成的向量。这样，对于任意非零向量x，x^*Ax的结果都是一个正数，不会包含原点。

相关问题

证明对任意m*n的矩阵A,A^TA和AA^T的非零特征值相同

首先，我们可以证明 A^TA 和 AA^T 是对称矩阵。

对于 A^TA，有 (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA，因此 A^TA 是对称矩阵。

对于 AA^T，有 (AA^T)^T = (A^T)^TA^T = AA^T，因此 AA^T 是对称矩阵。

接下来，我们可以证明 A^TA 和 AA^T 有相同的非零特征值。

对于任意非零向量 x，我们有：

(A^TA)x = λx

将 x 乘以 A 得到：

AA^T(Ax) = λ(Ax)

因此，Ax 是 AA^T 的特征向量，并且对应的特征值也是 λ。

同理，将 x 乘以 A^T 得到：

A^TA(A^Tx) = λ(A^Tx)

因此，A^Tx 是 A^TA 的特征向量，并且对应的特征值也是 λ。

因此，A^TA 和 AA^T 有相同的非零特征值。

C语言用一维数据模拟一个对称矩阵（方阵）A，并求该矩阵的n次方，A^n

下面是用一维数组模拟对称矩阵，并求该矩阵的n次方的C语言代码：

#include <stdio.h>

#define N 3    // 矩阵维数
#define NN (N*(N+1)/2)   // 对称矩阵元素个数

int main() {
    int A[NN];    // 一维数组模拟对称矩阵
    int n, i, j, k;

    // 初始化对称矩阵
    printf("请输入对称矩阵的元素：\n");
    for (i = 0, k = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j <= i; j++) {
            scanf("%d", &A[k++]);
        }
    }

    // 输出对称矩阵
    printf("对称矩阵A为：\n");
    for (i = 0, k = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j <= i; j++) {
            printf("%d ", A[k++]);
        }
        printf("\n");
    }

    // 求矩阵的n次方
    printf("请输入矩阵的幂次n：\n");
    scanf("%d", &n);
    int B[NN] = {0};   // 存储结果的对称矩阵
    for (k = 0; k < NN; k++) {
        B[k] = 1;   // 将B矩阵初始化为单位矩阵
    }
    for (k = 1; k <= n; k++) {
        int C[NN] = {0};   // 存储中间结果的对称矩阵
        for (i = 0; i < N; i++) {
            for (j = 0; j <= i; j++) {
                int sum = 0;
                int p, q;
                for (p = 0; p < N; p++) {
                    for (q = 0; q <= p; q++) {
                        if (p >= i && q >= j) {
                            sum += A[p*(p+1)/2 + q] * B[(p-i)*i/2 + (q-j)];
                        }
                        // 利用对称矩阵的性质减少计算量
                        else if (p >= j && q >= i) {
                            sum += A[p*(p+1)/2 + q] * B[(p-j)*j/2 + (q-i)];
                        }
                    }
                }
                C[i*(i+1)/2 + j] = sum;
            }
        }
        for (i = 0; i < NN; i++) {
            B[i] = C[i];   // 更新B矩阵
        }
    }

    // 输出结果矩阵
    printf("对称矩阵A的%d次方为：\n", n);
    for (i = 0, k = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j <= i; j++) {
            printf("%d ", B[k++]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

上面的代码中，首先通过一维数组来模拟对称矩阵A，并且输出该矩阵。然后输入矩阵的幂次n，利用对称矩阵的性质，用一维数组模拟中间结果矩阵C和结果矩阵B，最后输出结果矩阵。在计算过程中，利用对称矩阵的性质，减少了一些重复的计算。