研究由机器A和机器B生产的钢管内径，随机抽取机器A生产的管子19只，测得样本方差为s1²=0.34(mm²)；抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差为s2²=0.29(mm²)。设两样本相互独立，且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布N(μ1,σ1²),N(μ2,σ2²),其中μi,σi²(i=1,2)均未知，求方差比σ1²/σ2²的置信度为0.90的置信区间

根据样本方差的分布特性，有$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$，其中$n$为样本容量，$s^2$为样本方差，$\sigma^2$为总体方差。

由于两个样本相互独立，所以$\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}\sim \chi^2(n_1-1)$，$\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}\sim \chi^2(n_2-1)$，其中$n_1=19$，$s_1^2=0.34$，$n_2=13$，$s_2^2=0.29$。

根据$\chi^2$分布的性质，有$\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}\div\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$，其中$F$为$F$分布。

要求$\sigma_1^2/\sigma_2^2$的置信度为0.90的置信区间，即求出$F$分布的上下$\alpha/2$分位点，使得$P(F_{\alpha/2,n_1-1,n_2-1}\leq \frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}\div\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}\leq F_{1-\alpha/2,n_1-1,n_2-1})=0.90$。

由于置信度为0.90，$\alpha=0.1$，查表可得$F_{0.05,18,12}=2.71$，$F_{0.95,18,12}=0.38$。

代入样本数据，得到$\frac{(n_1-1)s_1^2}{(n_2-1)s_2^2}\div\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\sim F(18,12)$，即$\frac{(19-1)\times 0.34}{(13-1)\times 0.29}\div\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\sim F(18,12)$，解得$\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\in [\frac{(19-1)\times 0.34}{(13-1)\times 0.29}\div 2.71,\frac{(19-1)\times 0.34}{(13-1)\times 0.29}\div 0.38]=[0.80,1.98]$。

因此，方差比$\sigma_1^2/\sigma_2^2$的置信度为0.90的置信区间为$[0.80,1.98]$。