证明向量1范数大于等于2范数

向量的1范数（也称为绝对值之和）表示所有元素绝对值的总和，而2范数（欧几里得范数）则是各元素平方和的平方根。为了证明1范数总是大于等于2范数，我们可以利用算术平均数不大于几何平均数这个数学不等式：

设向量 \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)\) 的1范数为 \(||\mathbf{v}||_1\)，2范数为 \(||\mathbf{v}||_2\)，则有：
\[ ||\mathbf{v}||_1 = |v_1| + |v_2| + ... + |v_n| \]
\[ ||\mathbf{v}||_2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2} \]

由算术-几何不等式（AM-GM inequality），对于任意非负实数a和b，有：
\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]

将每个元素 \(v_i^2\) 视为 \(a\) 和 \(b\)，我们得到：
\[ \frac{v_i^2 + v_i^2}{2} \geq \sqrt{v_i^4} \]
\[ v_i^2 \geq v_i^2 \]

将所有的 \(v_i^2\) 相加，并考虑到非负性，我们有：
\[ ||\mathbf{v}||_2^2 = \sum_{i=1}^{n} v_i^2 \leq n \cdot \max(v_i^2) \]
\[ ||\mathbf{v}||_2 \leq \sqrt{n} \cdot \max(|v_i|) \]

因为 \(\sqrt{n} \cdot \max(|v_i|) \leq n \cdot \sum_{i=1}^{n} |v_i| = ||\mathbf{v}||_1\)，当 \(n > 1\) 时，这个不等式说明了 \(||\mathbf{v}||_2\) 总是小于或等于 \(||\mathbf{v}||_1\)。

所以，\(||\mathbf{v}||_1 \geq ||\mathbf{v}||_2\) 恒成立，只有在向量所有元素都是0的情况下两个范数才相等。