试证||x||=(|2x1-3ix2 x3|^2)是c3上的向量范数
时间: 2024-06-19 21:03:58 浏览: 13
首先,我们需要明确一下向量范数的定义。向量范数是一个将向量映射到非负实数的函数,它满足以下性质:
1. 非负性:对于所有向量x,范数的值必须大于等于0,即||x||>=0。
2. 齐次性:对于任意标量c和向量x,有||cx||=|c|||x||。
3. 三角不等式:对于任意两个向量x和y,有||x+y||<=||x||+||y||。
现在我们来看一下题目中给出的向量范数。它可以表示为:
||x||=|2x1-3ix2 x3|^2
我们可以按照定义来验证它是否是一个向量范数。
1. 非负性:显然,向量范数的值是一个模长的平方,所以它必须大于等于0。
2. 齐次性:我们可以验证,对于任意标量c和向量x,有:
||cx||=|2cx1-3icx2 cx3|^2
=|c|^2|2x1-3ix2 x3|^2
=|c|^2||x||
所以它满足齐次性。
3. 三角不等式:对于任意两个向量x和y,有:
||x+y||=|2(x1+y1)-3i(x2+y2)(x3+y3)|^2
=|(2x1-3ix2 x3)+(2y1-3iy2 y3)|^2
<=|2x1-3ix2 x3|^2+|2y1-3iy2 y3|^2
=||x||+||y||
所以它也满足三角不等式。
因此,根据定义,这个函数是一个向量范数。
相关问题
单选(2分)记x=(x;,x2 ,x)∈R',如下定义的函数构成R'.上的向量范数的为( ) A. |x|=|x + x2|+x3| B. |x|\=|x|+ 21x2|- 3|x;| ◎c. |x|=|x|+ 21x|+ 3|xs| D. |]I|=|x1-x2| + |x3|
这道题目是关于向量范数的定义。根据题目给出的选项,我们需要选择一个函数来构成R'上的向量范数。
向量范数是对向量进行度量的一种方式,它满足以下性质:
1. 非负性:对于任意向量x,其范数必须大于等于0,即|x| >= 0。
2. 齐次性:对于任意标量a和向量x,有|ax| = |a||x|。
3. 三角不等式:对于任意向量x和y,有|x + y| <= |x| + |y|。
让我们逐个分析选项:
A. |x| = |x + x2| + x3|
B. |x| = |x| + 21x2| - 3|x3|
C. |x| = |x| + 21|x| + 3|x3|
D. |x| = |x1 - x2| + |x3|
根据三角不等式的性质,我们可以排除选项A和B,因为它们不满足三角不等式。
选项C中的范数定义中包含了一个错误,应该是|x| = |x1| + 21|x2| + 3|x3|,而不是|x| = |x| + 21|x| + 3|x3|。因此,选项C也不是一个合法的向量范数定义。
最后,选项D的范数定义是合法的,满足非负性、齐次性和三角不等式,因此选项D是正确的。
所以,答案是D. |x| = |x1 - x2| + |x3|。
已知x=(0,-3,-4)^T,则||x||2=()
好的,我来回答你的问题。首先需要明确一下,$\|x\|_2$ 表示向量 $x$ 的 2-范数,计算公式为:
$$\|x\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$$
其中,$n$ 表示向量 $x$ 的维数,$x_i$ 表示向量 $x$ 的第 $i$ 个分量。根据题意,向量 $x=(0,-3,-4)^T$,所以:
$$\|x\|_2=\sqrt{0^2+(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$$
因此,$\|x\|_2=5$。
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