范数 ||x - y||
时间: 2024-03-01 15:47:41 浏览: 44
范数是一种衡量向量大小的数学概念,它可以用来度量向量的长度或距离。在数学中,范数是一个函数,它将向量映射到非负实数。对于向量 x 和 y,范数 ||x - y|| 表示它们之间的距离或差异。
范数有多种不同的定义方式,其中最常见的是欧几里得范数(L2范数)和曼哈顿范数(L1范数)。
1. 欧几里得范数(L2范数):也称为向量的2-范数,定义为向量各个元素的平方和的平方根。对于二维向量 (x, y),其欧几里得范数为 ||(x, y)|| = sqrt(x^2 + y^2)。
2. 曼哈顿范数(L1范数):也称为向量的1-范数,定义为向量各个元素绝对值之和。对于二维向量 (x, y),其曼哈顿范数为 ||(x, y)|| = |x| + |y|。
除了欧几里得范数和曼哈顿范数,还有其他范数的定义方式,如无穷范数(L∞范数)和闵可夫斯基范数(Lp范数)等。
相关问题
单选(2分)记x=(x;,x2 ,x)∈R',如下定义的函数构成R'.上的向量范数的为( ) A. |x|=|x + x2|+x3| B. |x|\=|x|+ 21x2|- 3|x;| ◎c. |x|=|x|+ 21x|+ 3|xs| D. |]I|=|x1-x2| + |x3|
这道题目是关于向量范数的定义。根据题目给出的选项,我们需要选择一个函数来构成R'上的向量范数。
向量范数是对向量进行度量的一种方式,它满足以下性质:
1. 非负性:对于任意向量x,其范数必须大于等于0,即|x| >= 0。
2. 齐次性:对于任意标量a和向量x,有|ax| = |a||x|。
3. 三角不等式:对于任意向量x和y,有|x + y| <= |x| + |y|。
让我们逐个分析选项:
A. |x| = |x + x2| + x3|
B. |x| = |x| + 21x2| - 3|x3|
C. |x| = |x| + 21|x| + 3|x3|
D. |x| = |x1 - x2| + |x3|
根据三角不等式的性质,我们可以排除选项A和B,因为它们不满足三角不等式。
选项C中的范数定义中包含了一个错误,应该是|x| = |x1| + 21|x2| + 3|x3|,而不是|x| = |x| + 21|x| + 3|x3|。因此,选项C也不是一个合法的向量范数定义。
最后,选项D的范数定义是合法的,满足非负性、齐次性和三角不等式,因此选项D是正确的。
所以,答案是D. |x| = |x1 - x2| + |x3|。
|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)B
这个式子是矩阵的谱范数的性质,其中A和B是n阶方阵,λ是一个实数。谱范数是矩阵的所有特征值的绝对值的最大值。因此,|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|,其中|A|和|B|分别是矩阵A和B的行列式的绝对值。这个性质可以通过以下步骤证明:
1. 由于A和B都是n阶方阵,它们都有n个特征值。设λ1, λ2, ..., λn是A的特征值,μ1, μ2, ..., μn是B的特征值。
2. 对于任意向量x,有|(λA+(1-λ)B)x|≤|λA x|+|(1-λ)B x|,根据矩阵范数的定义,有|λA+(1-λ)B|≤λ|A|+(1-λ)|B|。
3. 另一方面,对于任意向量y,有|(λA+(1-λ)B)y|≥λ|A y|+(1-λ)|B y|,因此|λA+(1-λ)B|≥λ|A|+(1-λ)|B|。
4. 综上所述,|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|,证毕。
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