||x||2 2证明这个呢
时间: 2024-03-29 15:32:11 浏览: 18
||x||2 表示向量 x 的 2-范数,也称为欧几里得范数或者 L2 范数。它的定义如下:
||x||2 = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)
其中,x1, x2, ..., xn 是向量 x 的各个分量。
要证明 ||x||2 的性质,我们可以按照以下步骤进行:
1. 非负性:首先,我们可以观察到每个分量的平方都是非负的,即 x1^2, x2^2, ..., xn^2 >= 0。因此,每个分量的平方和也是非负的。所以,||x||2 >= 0。
2. 零向量的范数为零:如果向量 x 是一个零向量,即 x = [0, 0, ..., 0],那么每个分量的平方和为零,即 x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 = 0。所以,||x||2 = sqrt(0) = 0。
3. 正定性:对于非零向量 x,我们需要证明 ||x||2 > 0。假设存在一个非零向量 x,使得 ||x||2 = 0。根据定义,这意味着 x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 = 0。由于每个分量的平方都是非负的,所以只有当每个分量都为零时,等式才成立。但是,这与我们假设的 x 是一个非零向量相矛盾。因此,||x||2 > 0 对于非零向量 x 成立。
综上所述,我们证明了 ||x||2 的非负性、零向量的范数为零以及正定性。这些性质使得 ||x||2 成为一个合理的范数。
相关问题
X为内积空间,x⊥y,证明||x-y||=||x+y||
根据题意,我们需要证明 ||x-y||=||x+y||,其中 x⊥y。
根据内积的定义,我们有:
||x+y||^2 = ⟨x+y,x+y⟩
= ⟨x,x⟩ + ⟨x,y⟩ + ⟨y,x⟩ + ⟨y,y⟩
= ||x||^2 + 2Re⟨x,y⟩ + ||y||^2
(其中Re表示实部)
同理,有:
||x-y||^2 = ⟨x-y,x-y⟩
= ⟨x,x⟩ - ⟨x,y⟩ - ⟨y,x⟩ + ⟨y,y⟩
= ||x||^2 - 2Re⟨x,y⟩ + ||y||^2
因为 x⊥y,所以 ⟨x,y⟩=0,代入上面两个式子得:
||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2
||x-y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2
两式相减得:
||x+y||^2 - ||x-y||^2 = 4Re⟨x,y⟩
因为 Re⟨x,y⟩≤|⟨x,y⟩|,所以有:
||x+y||^2 - ||x-y||^2 ≤ 4|⟨x,y⟩|
又因为 Hölder 不等式有:
|⟨x,y⟩| ≤ ||x||·||y||
所以有:
||x+y||^2 - ||x-y||^2 ≤ 4||x||·||y||
两边同时开方得:
||x+y|| - ||x-y|| ≤ 2||x||·||y|| / ||x+y||
因为 ||x+y||≠0,所以有:
||x-y|| / ||x+y|| ≤ 2||x||·||y|| / ||x+y||^2
两边同时乘以 ||x+y||,得:
||x-y|| ≤ 2||x||·||y|| / ||x+y||·||x+y||
因为 ||x||和||y||都是非负数,所以有:
||x-y|| ≤ 2||x||·||y|| / ||x+y||^2 ≤ 2||x||·||y|| / 4min(||x||^2,||y||^2)
因为 x⊥y,所以 ||x||^2+||y||^2≠0,所以有:
||x-y|| ≤ 2||x||·||y|| / (||x||^2+||y||^2)
同理可得:
||x+y|| ≤ 2||x||·||y|| / (||x||^2+||y||^2)
因为 ||x||和||y||都是非负数,所以有:
||x-y||·||x+y|| ≤ 4||x||^2·||y||^2 / (||x||^2+||y||^2)
= 4||x||^2·||y||^2 / (||x||^2+||y||^2) - ||x||^2 + ||x||^2 + ||y||^2
= ||x||^2 + 2||x||·||y|| + ||y||^2 - ||x||^2 + ||x||^2 + ||y||^2
= 4||x||·||y||
两边同时开方得:
||x-y||·||x+y|| ≤ 2||x||·2||y||
因为 x⊥y,所以 ||x||·||y||=0,所以有:
||x-y||·||x+y|| = 0
因为 ||x-y||和||x+y||都是非负数,所以有:
||x-y|| = ||x+y||
因此,证毕。
||λx||=λ||x||
根据提供的引用内容,我们可以得出结论:对于任意矩阵A和标量λ,有||λA||=λ||A||。这个结论可以通过以下步骤进行证明:
1. 首先,我们定义矩阵A的范数为||A||=sup{||Ax||:||x||=1},其中sup表示上确界。
2. 然后,我们考虑矩阵λA,其中λ是一个标量。对于任意非零向量x,有||λAx||=|λ|||Ax||=|λ||sup{||Ax||:||x||=1}。
3. 接下来,我们考虑向量y=λx,其中x是一个非零向量。根据定义,有||y||=sup{||y||:||y||=1}=sup{||λx||:||x||=1}。
4. 根据步骤2和步骤3,我们可以得出结论:||λA||=sup{||λAx||:||x||=1}=sup{||y||:||y||=1}=|λ||sup{||Ax||:||x||=1}=|λ||||A||。
所以,我们证明了对于任意矩阵A和标量λ,有||λA||=λ||A||。