设随机变量X的方差存在,证明:|E(X)|≤E(|X|)
时间: 2023-06-17 09:05:44 浏览: 69
首先,我们可以将|X|写成两个随机变量的形式,即|X|=X1-X2,其中X1=max(X,0),X2=max(-X,0)。
由于X1和X2都是非负随机变量,所以有:
E(X1)≥0,E(X2)≥0
根据绝对值的定义,我们可以得到:
|X|=X1-X2,或者-X1+X2
因此,我们可以将E(|X|)表示为:
E(|X|)=E(X1-X2)+E(-X1+X2)=2E(X1)-E(X)
接下来,我们可以证明|E(X)|≤E(|X|)。
由于方差存在,我们有:
Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2≥0
移项并开平方,得到:
|E(X)|≤sqrt(E(X^2))
由于X1和X2都是非负随机变量,所以有:
X^2=(X1-X2)^2=(X1)^2+(X2)^2-2X1X2
根据期望的线性性,我们有:
E(X^2)=E((X1)^2)+E((X2)^2)-2E(X1X2)
由于X1和X2都是非负随机变量,所以有:
E((X1)^2)≥(E(X1))^2,E((X2)^2)≥(E(X2))^2
因此,我们可以得到:
E(X^2)≥(E(X1))^2+(E(X2))^2-2E(X1X2)
将E(X1)和E(X2)代入上式,我们有:
E(X^2)≥E(X1)E(X2)
因此,我们可以得到:
sqrt(E(X^2))≥sqrt(E(X1)E(X2))
将sqrt(E(X^2))代入|E(X)|≤sqrt(E(X^2)),我们有:
|E(X)|≤sqrt(E(X1)E(X2))
根据调和平均数和几何平均数的不等式,我们有:
sqrt(E(X1)E(X2))≥E(|X|)
因此,我们可以得到:
|E(X)|≤E(|X|)
证毕。
相关推荐
![doc](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![doc](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![ppt](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083527.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pptx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083543.png)