使用矩母函数证明正态分布的可加性
时间: 2024-06-13 15:04:05 浏览: 33
使用矩母函数证明正态分布的可加性,可以分为以下几个步骤:
1. 假设 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个独立的正态分布随机变量,其均值分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$,方差分别为 $\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$。
2. 定义 $Y=X_1+X_2$,则 $Y$ 的均值为 $\mu_Y=\mu_1+\mu_2$。
3. 计算 $Y$ 的矩母函数 $M_Y(t)$,即 $M_Y(t)=E(e^{tY})$。
4. 根据矩母函数的定义和期望的线性性质,可以得到 $M_Y(t)=E(e^{t(X_1+X_2)})=E(e^{tX_1}e^{tX_2})=E(e^{tX_1})E(e^{tX_2})$。
5. 由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都是正态分布随机变量,因此它们的矩母函数分别为 $M_{X_1}(t)=e^{\mu_1t+\frac{1}{2}\sigma_1^2t^2}$ 和 $M_{X_2}(t)=e^{\mu_2t+\frac{1}{2}\sigma_2^2t^2}$。
6. 将 $M_{X_1}(t)$ 和 $M_{X_2}(t)$ 代入 $M_Y(t)$ 的公式中,可以得到 $M_Y(t)=e^{(\mu_1+\mu_2)t+\frac{1}{2}(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2}$。
7. 由于 $M_Y(t)$ 的形式与正态分布的矩母函数相同,因此可以得出 $Y$ 也是一个正态分布随机变量,其均值为 $\mu_Y=\mu_1+\mu_2$,方差为 $\sigma_Y^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2$。
因此,使用矩母函数证明正态分布的可加性的过程就是以上所述。
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