证明正态分布经过z变换之后变成了标准正态分布

根据z变换的定义，对于一个连续随机变量X，其z变换为：

$$Z_X(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f_X(t)dt$$

其中，$f_X(t)$为X的概率密度函数。

对于正态分布，其概率密度函数为：

$$f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

将其代入z变换中：

$$\begin{aligned} Z_X(s) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt \\ &= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt \end{aligned}$$

将指数项中的二次项改写为完全平方：

$$\begin{aligned} st+\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} &= \frac{1}{2\sigma^2}(2\sigma^2s+(x-\mu)^2) \\ &= \frac{1}{2\sigma^2}((x-\mu)^2+2\sigma^2s) \end{aligned}$$

将上式代入z变换式中：

$$Z_X(s) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}((x-\mu)^2+2\sigma^2s)}dt$$

将指数项中的二次项改写为完全平方：

$$\begin{aligned} \frac{1}{2\sigma^2}((x-\mu)^2+2\sigma^2s) &= \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+s \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 + s - \frac{1}{2}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)^2 \end{aligned}$$

将上式代入z变换式中：

$$Z_X(s) = e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)^2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}e^{s\sigma^2}dt$$

上式中的积分项为标准正态分布的概率密度函数，即：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt = 1$$

因此：

$$Z_X(s) = e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)^2}e^{s\sigma^2}$$

上式中的指数项为标准正态分布的z变换形式。因此，正态分布经过z变换之后变成了标准正态分布。