标准正态分布值落在3倍标准差之间的概率
时间: 2023-10-16 13:43:28 浏览: 73
标准正态分布是一种均值为0,标准差为1的正态分布,其概率密度函数为:
f(x) = (1 / sqrt(2π)) * exp(-x^2 / 2)
落在3倍标准差之间的概率可以用正态分布的累积分布函数来计算,即:
P(-3 ≤ x ≤ 3) = Φ(3) - Φ(-3)
其中,Φ(x)代表标准正态分布的累积分布函数,即:
Φ(x) = (1 / sqrt(2π)) * ∫exp(-t^2 / 2) dt 从负无穷到x
由于标准正态分布是对称的,所以Φ(-x) = 1 - Φ(x),因此:
P(-3 ≤ x ≤ 3) = Φ(3) - (1 - Φ(3)) = 2Φ(3) - 1
可以使用统计软件或查表得到Φ(3)的值为0.99865,因此:
P(-3 ≤ x ≤ 3) = 2 * 0.99865 - 1 = 0.9973
即标准正态分布值落在3倍标准差之间的概率约为0.9973。
相关问题
一个值落在均值加减两倍的标准差之间的概率多少?
这个问题涉及到正态分布的概率计算。假设随机变量X服从均值为μ,标准差为σ的正态分布,那么一个值落在均值加减两倍的标准差之间的概率,可以表示为:
P(μ-2σ < X < μ+2σ)
根据标准正态分布的性质,我们可以将X转化为标准正态分布的形式,即:
Z = (X-μ)/σ
那么上式可以变为:
P(-2 < Z < 2)
根据标准正态分布的对称性,P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2)
查表可得,P(Z < 2) ≈ 0.9772,P(Z < -2) ≈ 0.0228
因此,P(-2 < Z < 2) ≈ 0.9772 - 0.0228 = 0.9544
所以,一个值落在均值加减两倍的标准差之间的概率约为0.9544。
如果说一个函数的置信区间是1-a,该函数服从标准正态分布,那怎么表示他落在置信区间内的最小值和最大值
如果一个函数的置信区间是1-a,那么它的置信水平为a,代表在这个置信水平下,函数值落在置信区间内的概率为a。由于该函数服从标准正态分布,我们可以使用标准正态分布表来计算其置信区间。
对于标准正态分布,其均值为0,标准差为1。假设置信水平为a,则置信区间的两侧分别为(1-a)/2,因为标准正态分布是对称的。我们可以在标准正态分布表中查找(1-a)/2对应的z值,记为z1,然后计算z1对应的函数值,即可得到该函数落在置信区间内的最小值。
同理,我们可以在标准正态分布表中查找(1+a)/2对应的z值,记为z2,然后计算z2对应的函数值,即可得到该函数落在置信区间内的最大值。
综上所述,该函数落在置信区间内的最小值为μ-z1σ,最大值为μ+z2σ,其中μ为函数的均值,σ为函数的标准差,z1和z2分别为标准正态分布表中对应的z值。