单选(2分)记x=(x;,x2 ,x)∈R'，如下定义的函数构成R'.上的向量范数的为( ) A. |x|=|x + x2|+x3| B. |x|\=|x|+ 21x2|- 3|x;| ◎c. |x|=|x|+ 21x|+ 3|xs| D. |]I|=|x1-x2| + |x3|

这道题目是关于向量范数的定义。根据题目给出的选项，我们需要选择一个函数来构成R'上的向量范数。

向量范数是对向量进行度量的一种方式，它满足以下性质：
1. 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即|x| >= 0。
2. 齐次性：对于任意标量a和向量x，有|ax| = |a||x|。
3. 三角不等式：对于任意向量x和y，有|x + y| <= |x| + |y|。

让我们逐个分析选项：
A. |x| = |x + x2| + x3|
B. |x| = |x| + 21x2| - 3|x3|
C. |x| = |x| + 21|x| + 3|x3|
D. |x| = |x1 - x2| + |x3|

根据三角不等式的性质，我们可以排除选项A和B，因为它们不满足三角不等式。

选项C中的范数定义中包含了一个错误，应该是|x| = |x1| + 21|x2| + 3|x3|，而不是|x| = |x| + 21|x| + 3|x3|。因此，选项C也不是一个合法的向量范数定义。

最后，选项D的范数定义是合法的，满足非负性、齐次性和三角不等式，因此选项D是正确的。

所以，答案是D. |x| = |x1 - x2| + |x3|。

相关问题

证明欧几里得范数满足范数的定义 欧几里得范数定义: 给定n维向量x = [x1,x2,.., xn]，其欧几里得范数为: 2 = sqrt( x12 + x22 + ... + xn2)

为了证明欧几里得范数满足范数的定义，我们需要证明它满足以下三个性质：

1. 非负性：对于任意 $x\in\mathbb{R}^n$，有 $\left\|x\right\|_2 \geq 0$，且当且仅当 $x = 0$ 时，有 $\left\|x\right\|_2 = 0$。

2. 齐次性：对于任意 $x\in\mathbb{R}^n$ 和 $\alpha\in\mathbb{R}$，有 $\left\|\alpha x\right\|_2 = \left|\alpha\right|\left\|x\right\|_2$。

3. 三角不等式：对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$，有 $\left\|x+y\right\|_2 \leq \left\|x\right\|_2 + \left\|y\right\|_2$。

现在我们分别证明这三个性质：

1. 对于任意 $x\in\mathbb{R}^n$，我们有：

$$\left\|x\right\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \geq 0$$

当且仅当 $x = 0$ 时，有 $\left\|x\right\|_2 = 0$。因此，欧几里得范数满足非负性。

2. 对于任意 $x\in\mathbb{R}^n$ 和 $\alpha\in\mathbb{R}$，我们有：

$$\left\|\alpha x\right\|_2 = \sqrt{(\alpha x_1)^2 + (\alpha x_2)^2 + \cdots + (\alpha x_n)^2} = \left|\alpha\right|\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} = \left|\alpha\right|\left\|x\right\|_2$$

因此，欧几里得范数满足齐次性。

3. 对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$，我们有：

$$\left\|x+y\right\|_2^2 = (x_1+y_1)^2 + (x_2+y_2)^2 + \cdots + (x_n+y_n)^2$$

$$= x_1^2 + y_1^2 + 2x_1y_1 + x_2^2 + y_2^2 + \cdots + x_n^2 + y_n^2 + 2x_ny_n$$

$$\leq (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) + (y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2) + 2\sqrt{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2)}$$

$$= \left\|x\right\|_2^2 + \left\|y\right\|_2^2 + 2\left\|x\right\|_2\left\|y\right\|_2$$

$$= (\left\|x\right\|_2 + \left\|y\right\|_2)^2$$

因此，取平方根可得 $\left\|x+y\right\|_2 \leq \left\|x\right\|_2 + \left\|y\right\|_2$。因此，欧几里得范数满足三角不等式。

综上所述，欧几里得范数满足范数的定义。

考虑以下线性规划问题： min ⁡ x ∈ R n ∥ x ∥ p s.t. A x = b , x∈R n min ​ ∥x∥ p ​ s.t.Ax=b, 其中 A ∈ R m × n A∈R m×n ， m ≪ n m≪n 且 r a n k ( A ) = m rank(A)=m， b ∈ R m b∈R m ， p ∈ ( 0 , 1 ) p∈(0,1)。请建立 x ∗ x ∗ 是该问题的局部最小值的必要和充分条件。在 A = [ 2 3 1 ; 2 1 3 ] A=[2 3 1;2 1 3]， b = [ 2 2 ] b=[2 2] 的情况下，请找出该问题的局部最小值集。

该线性规划问题可以表示为以下凸优化问题：
$$
\min_{x\in R^n} \left\|x\right\|_p \ \ \text{s.t.} \ \ Ax=b
$$
其中 $\left\|x\right\|_p=\left(\sum_{i=1}^n \left|x_i\right|^p\right)^{1/p}$ 是 $l_p$ 范数。

设 $x^*$ 是该问题的局部最小值，则存在一个正数 $\epsilon$，使得对于任意的满足 $\left\|x-x^*\right\|_p\leq\epsilon$ 的 $x$，都有 $\left\|x^*\right\|_p\leq \left\|x\right\|_p$。

必要性：若 $x^*$ 是局部最小值，则对于任意的满足 $\left\|x-x^*\right\|_p\leq\epsilon$ 的 $x$，都有 $f(x)-f(x^*)\geq 0$，其中 $f(x)=\left\|x\right\|_p$ 是目标函数。由于 $f(x)$ 是凸函数，因此有：
$$
f(x)-f(x^*)\geq \nabla f(x^*)^T(x-x^*)
$$
又因为 $\nabla f(x^*)=0$，所以有 $f(x)-f(x^*)\geq 0$，即 $\left\|x^*\right\|_p\leq \left\|x\right\|_p$。

充分性：若对于任意的满足 $\left\|x-x^*\right\|_p\leq\epsilon$ 的 $x$，都有 $\left\|x^*\right\|_p\leq \left\|x\right\|_p$，则对于任意的满足 $Ax=b$ 的 $x$，都有：
$$
\left\|x-x^*\right\|_p=\left\|(A^{-1}b-A^{-1}b)-(A^{-1}x^*-A^{-1}b)\right\|_p=\left\|A^{-1}(x^*-x)\right\|_p\leq \epsilon
$$
其中最后一步用到了 $rank(A)=m$ 的条件。因此有 $\left\|x^*\right\|_p\leq \left\|x\right\|_p$。由于 $f(x)$ 是凸函数，因此有：
$$
f(x^*)-f(x)\geq \nabla f(x)^T(x^*-x)
$$
又因为 $\nabla f(x^*)=0$，所以有 $f(x^*)\leq f(x)$，即 $x^*$ 是局部最小值。

对于 $A=[2\ 3\ 1;2\ 1\ 3]$，$b=[2\ 2]$ 的情况，目标函数可以表示为：
$$
\min_{x_1,x_2,x_3} \left(\left|x_1\right|^p+\left|x_2\right|^p+\left|x_3\right|^p\right) \ \ \text{s.t.} \ \ \begin{bmatrix}2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 \\ 2\end{bmatrix}
$$
可以发现，当 $p<1$ 时，目标函数是非凸函数，因此不存在全局最小值。当 $p\geq 1$ 时，目标函数是凸函数，存在全局最小值。此时，$x^*=[0\ 0\ 2/3]$ 是该问题的全局最小值。